Autor Tema: Subespacios

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10 Octubre, 2018, 04:35 am
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dario_oasis

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Hola como estan? me podrian ayudar con este ejercicío por favor?
caracterizar geometricamente los subespacios de \( R^3 \)¿que conclusiones se obtienen para los sistemas lineales homogéneos en tres variables?
Mi profesora puso estos sistemas en el pizarrón pero que tengo que hacer con ellos?
\( a)x+3y+z=0 \)

\( b)x+y+z=0 \)
\( x-y+z=0 \)

\( c)x+y+z=0 \)
\( x-y+z=0 \)
\( x+y-z=0 \)

10 Octubre, 2018, 05:06 am
Respuesta #1

Masacroso

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Al pedirte que los caracterices geométricamente creo que te pide que digas si el conjunto de soluciones de cada sistema define un plano, una recta o un punto.

10 Octubre, 2018, 05:16 am
Respuesta #2

dario_oasis

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y como tengo que hacer eso?

10 Octubre, 2018, 05:30 am
Respuesta #3

Masacroso

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y como tengo que hacer eso?

Eso dependerá de lo que te hayan enseñado. Por ejemplo: la ecuación en a) define un plano, lo sé porque las ecuaciones de planos en tres dimensiones tienen la forma \( ax+by+cz+d=0 \).

Luego b) se puede re-escribir, sumando y restando las dos ecuaciones, como el sistema \( x+z=0 \) e \( y=0 \), es decir, es la colección de puntos definidos por \( (x,0,-x) \), lo que define una recta.

Y el resultado en c) se puede hallar como en b) sumando y restando ecuaciones. Te lo dejo a ver si lo resuelves tú.

Pero repito: el cómo lo resuelvas dependerá de lo que te hayan enseñado. Si tienes dudas o no sabes resolverlo pregúntale a tu profesora.

10 Octubre, 2018, 05:36 am
Respuesta #4

delmar

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Hola

Primero determinalos analíticamente, luego interpretas geométricamente, te ayudo con el b)

El sistema de ecuaciones constituyen propiedades, que cumple un subconjunto de \( R^3 \), llamándolo S a ese subconjunto se tiene :

\( S=\left\{{\left[\begin{array}{ccc}{x}\\{y}\\{z}\end{array}\right]}\in{R^3} \ \  /  x+y+z=0, \ x-y+z=0 \right\} \)

Resolviendo el sistema se llega (hazlo por tu cuenta por favor) \( z=-x, y=0 \) en consecuencia los elementos de S son de la forma : \( \left[\begin{array}{ccc}{x}\\{0}\\{-x}\end{array}\right]=x\left[\begin{array}{ccc}{1}\\{0}\\{-1}\end{array}\right]\Rightarrow{S=\left\{{x\left[\begin{array}{ccc}{1}\\{0}\\{-1}\end{array}\right] , \ \ x\in{R}}\right\}} \)

Es obvio que S es un subespacio vectorial de dimensión 1, geométricamente es la ecuación vectorial de una recta (un solo parámetro).

En general una ecuación de 3 variables es la ecuación de un plano, un sistema de 2 ecuaciones de 3 variables por lo general es una recta (intersección de dos planos) ya puedes deducir el caso de un sistema de 3 ecuaciones y 3 variables, por lo menos el caso general, hay excepciones.

Saludos

10 Octubre, 2018, 04:26 pm
Respuesta #5

dario_oasis

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Hola

Primero determinalos analíticamente, luego interpretas geométricamente, te ayudo con el b)

El sistema de ecuaciones constituyen propiedades, que cumple un subconjunto de \( R^3 \), llamándolo S a ese subconjunto se tiene :

\( S=\left\{{\left[\begin{array}{ccc}{x}\\{y}\\{z}\end{array}\right]}\in{R^3} \ \  /  x+y+z=0, \ x-y+z=0 \right\} \)

Resolviendo el sistema se llega (hazlo por tu cuenta por favor) \( z=-x, y=0 \) en consecuencia los elementos de S son de la forma : \( \left[\begin{array}{ccc}{x}\\{0}\\{-x}\end{array}\right]=x\left[\begin{array}{ccc}{1}\\{0}\\{-1}\end{array}\right]\Rightarrow{S=\left\{{x\left[\begin{array}{ccc}{1}\\{0}\\{-1}\end{array}\right] , \ \ x\in{R}}\right\}} \)

Es obvio que S es un subespacio vectorial de dimensión 1, geométricamente es la ecuación vectorial de una recta (un solo parámetro).

En general una ecuación de 3 variables es la ecuación de un plano, un sistema de 2 ecuaciones de 3 variables por lo general es una recta (intersección de dos planos) ya puedes deducir el caso de un sistema de 3 ecuaciones y 3 variables, por lo menos el caso general, hay excepciones.

Saludos


Disculpa porque dices que es de dimensión 1?

10 Octubre, 2018, 04:37 pm
Respuesta #6

Luis Fuentes

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Hola

Disculpa porque dices que es de dimensión 1?

Porque llega a que está generado por un sólo vector.

Saludos.