Autor Tema: Mostrar que una matriz es nilpotente de índice 2.

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12 Octubre, 2018, 01:52 am
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dresuer

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Buenas.

Dada la matriz \( A = \begin{bmatrix} 0&1&1&0&1 \\ 0&0&1&1&1 \\ 0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0 \end{bmatrix} \), mostrar que es nilpotente de índice 2.

Probaremos \( A^2 = \begin{bmatrix}0\\0\\ \vdots \\{0}\end{bmatrix} \).
Primero representamos los vectores canónicos de \( R^3 \) de la base \( [R^3]_A \) en la base canónica \( R^3 \), \( \left \{ \begin{array}{rlc} Ae_1 = 0 \ (vector\ nulo) \\ Ae_2 = e_1 \\ Ae_3 = e_1+e_2 \\ Ae_4 = e_2 \\ Ae_5 = e_1 + e_2 \end{array} \right .  \)

Luego, \( A^n e_1 = (A^{n-1}A)e_1 = A^{n-1} (A e_1) = A^{n-1}\begin{bmatrix}0\\0\\ \vdots \\{0}\end{bmatrix} \)
\( A^n e_2 = (A^{n-1}A)e_2 = A^{n-1} (A e_2) = A^{n-1}\begin{bmatrix}1\\0\\ 0 \\0 \\  0\end{bmatrix} = A^{n-1}e_1 = \begin{bmatrix}0\\0\\ \vdots \\{0}\end{bmatrix} \)

Y así con los demás \( e_i \), ¿está bien ese razonamiento?
Sé que una condición que tiene que cumplir este tipo de matrices es que el determinante sea 0, necesario pero no suficiente.

Saludos.

12 Octubre, 2018, 02:27 am
Respuesta #1

delmar

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Hola

No es nilpotente de orden 2, si \( B=A^2 \) se tiene \( b_{1,3}=1\neq{0} \) esto significa que \( A^2\neq{Nula} \)



Saludos

12 Octubre, 2018, 02:33 am
Respuesta #2

dresuer

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Hola

No es nilpotente de orden 2, si \( B=A^2 \) se tiene \( b_{1,3}=1\neq{0} \) esto significa que \( A^2\neq{Nula} \)



Saludos

Edito: @delmar estaba haciendo la multiplicación xD.

12 Octubre, 2018, 02:39 am
Respuesta #3

delmar

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\( b_{1,3} \) es el elemento del renglón 1 y de la columna 3 de la matriz \( B=A^2 \), en forma práctica \( b_{1,3}=A_1 \ \cdot{A^3} \) es el producto  de la fila 1 de A con la columna 3 de A, observa que este producto es 1 no es cero, en consecuencia \( A^2 \) no es la matriz nula y su orden de nilpotencia no puede ser 2.

Saludos

Nota : Puede haber un error tipográfico en el enunciado

12 Octubre, 2018, 02:53 am
Respuesta #4

dresuer

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\( b_{1,3} \) es el elemento del renglón 1 y de la columna 3 de la matriz \( B=A^2 \), en forma práctica \( b_{1,3}=A_1 \ \cdot{A^3} \) es el producto  de la fila 1 de A con la columna 3 de A, observa que este producto es 1 no es cero, en consecuencia \( A^2 \) no es la matriz nula y su orden de nilpotencia no puede ser 2.

Saludos

Nota : Puede haber un error tipográfico en el enunciado

Si, vos multiplicaste las dos pero yo no quería hacerlo así igual, porque no me sirve para los siguientes ejercicios, y tenés razón no lo es.

Yo estaba intentando implementar este razonamiento xD https://math.stackexchange.com/questions/123666/how-to-prove-a-matrix-is-nilpotent
No entendí bien la respueta más votada, al parecer.

12 Octubre, 2018, 02:59 am
Respuesta #5

Masacroso

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\( b_{1,3} \) es el elemento del renglón 1 y de la columna 3 de la matriz \( B=A^2 \), en forma práctica \( b_{1,3}=A_1 \ \cdot{A^3} \) es el producto  de la fila 1 de A con la columna 3 de A, observa que este producto es 1 no es cero, en consecuencia \( A^2 \) no es la matriz nula y su orden de nilpotencia no puede ser 2.

Saludos

Nota : Puede haber un error tipográfico en el enunciado

Si, vos multiplicaste las dos pero yo no quería hacerlo así igual, porque no me sirve para los siguientes ejercicios, y tenés razón no lo es.

Yo estaba intentando implementar este razonamiento xD https://math.stackexchange.com/questions/123666/how-to-prove-a-matrix-is-nilpotent
No entendí bien la respueta más votada, al parecer.

También se verificaría al comprobar que \( Ae_3=e_1+e_2\implies A^2e_3=A(Ae_3)=A(e_1+e_2)=Ae_1+Ae_2=0+e_1\neq 0 \).

12 Octubre, 2018, 03:05 am
Respuesta #6

dresuer

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\( b_{1,3} \) es el elemento del renglón 1 y de la columna 3 de la matriz \( B=A^2 \), en forma práctica \( b_{1,3}=A_1 \ \cdot{A^3} \) es el producto  de la fila 1 de A con la columna 3 de A, observa que este producto es 1 no es cero, en consecuencia \( A^2 \) no es la matriz nula y su orden de nilpotencia no puede ser 2.

Saludos

Nota : Puede haber un error tipográfico en el enunciado

Si, vos multiplicaste las dos pero yo no quería hacerlo así igual, porque no me sirve para los siguientes ejercicios, y tenés razón no lo es.

Yo estaba intentando implementar este razonamiento xD https://math.stackexchange.com/questions/123666/how-to-prove-a-matrix-is-nilpotent
No entendí bien la respueta más votada, al parecer.

También se verificaría al comprobar que \( Ae_3=e_1+e_2\implies A^2e_3=A(Ae_3)=A(e_1+e_2)=Ae_1+Ae_2=0+e_1\neq 0 \).

Yeah, estás en lo cierto jajajaja como me compliqué tanto para algo tan simple, lo que pasa que primero empecé probando para \( A^n \) y después me dí cuenta leyendo el enunciado de nuevo que era \( A^2 \), muchas gracias.