Autor Tema: Acotar por definición de límite

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11 Octubre, 2018, 04:59 pm
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dario_oasis

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Título cambiado:  limite --> límite

Hola como estan? disculpen  me ayudar a acotar esta función por definición de limite?

\[ \left |{\displaystyle\frac{h^3k}{(h^2+k^2).\sqrt[ ]{h^2+k^2}}}\right |<\epsilon \]

yo lo acote así y mi profesora me dijo que esta mal
\[ \left |{\displaystyle\frac{h^2}{h^2+k^2}}\right |\left |{\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{h^2+k^2}}}\right |\left |{k}\right |\left |{h}\right | \]

11 Octubre, 2018, 09:31 pm
Respuesta #1

Masacroso

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Supongo te refieres a la función \[ f:\Bbb R^2\setminus\{(0,0)\}\to\Bbb R,\, (h,k)\mapsto\frac{h^3k}{(h^2+k^2)\sqrt{h^2+k^2}} \].

Como la función es continua entonces te bastaría comprobar que los límites

\[ \displaystyle\lim_{(h,k)\to (0,0)}f(h,k),\quad\lim_{(h,k)\to (s,\infty)}f(h,k)\quad\text{ y }\quad\lim_{(h,k)\to(\infty,r)}f(h,k) \]

son todos finitos para cualquier elección que hagamos de \[ r,s\in\Bbb R \].

12 Octubre, 2018, 09:22 am
Respuesta #2

Juan Pablo Sancho

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Para el numerador:
\[ |h^3 \cdot k| = h^2 \cdot |h| \cdot |k| \leq (h^2+k^2) \cdot |h| \cdot \sqrt{k^2} \leq  (h^2+k^2) \cdot |h| \cdot \sqrt{+h^2 + k^2}  \] 

12 Octubre, 2018, 12:17 pm
Respuesta #3

dario_oasis

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Tengo que acotar usando la definición:dado un Espolón >0 existe un delta ......

Como quedaría?

12 Octubre, 2018, 01:19 pm
Respuesta #4

Juan Pablo Sancho

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Por favor usa \[ \LaTeX \] dario_oasis no es la primera vez que se menciona en tus hilos.
Te puse una acotación que resuelve directamente lo que preguntas.
\[  |h| = \sqrt{h^2} \leq \sqrt{h^2+k^2}  \]