Autor Tema: Homeomorfismo

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25 Octubre, 2018, 10:42 pm
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Anasanchez

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Hola necesito ayuda con este ejercicio: encontrar un homeomorfismo entre

\(  \{(x,y)\in{\mathbb{R}^2}:1/4\leq x^2+y^2\leq 1\}/S^1 \)

y un subespacio de \( \mathbb{R}^3 \) o \( \mathbb{R}^2 \). Demostrar porque es homeomorfismo

26 Octubre, 2018, 08:37 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Hola necesito ayuda con este ejercicio: encontrar un homeomorfismo entre

\(  \{(x,y)\in{\mathbb{R}^2}:1/4\leq x^2+y^2\leq 1\}/S^1 \)

y un subespacio de \( \mathbb{R}^3 \) o \( \mathbb{R}^2 \). Demostrar porque es homeomorfismo

Por favor, Anasanches, cuida la escritura de las fórmulas poniéndolas en LaTeX. He corregido tu mensaje.

Entiendo que:

\(  \{(x,y)\in{\mathbb{R}^2}:1/4\leq x^2+y^2\leq 1\}/S^1 \)

se refiere al espacio cociente de \( X=\{(x,y)\in{\mathbb{R}^2}:1/4\leq x^2+y^2\leq 1\} \) donde se identifican los puntos de la circunferencia \( S^1 \).

Iniutivamente si en una corona circular colapsas a un punto una de las circunferencias frontera te queda un disco.

Puedes definir entonces la siguiente aplicación:

\( f:X\longrightarrow{}\{(x,y)\in \mathbb{R}^2|x^2+y^2\leq \dfrac{1}{4}\} \) (sobre el disco cerrado \( D((0,0),1/2) \))

en polares como:

\( f(r,\theta)=(1-r,\theta) \)

o en cartesianas:

\( f(x,y)=\dfrac{(x,y)}{\|(x,y)\}}\cdot (1-\|(x,y)\| \)

Comprueba que es:

- Continua, sobreyectiva, inyectiva en \( X-\{S^1\} \) y \( f(S^1)=\{(0,0)\} \).

Deduce que pasa al cociente a una aplicación continua y biyectiva:

\( \bar f:X/S^1\longrightarrow{}\{(x,y)\in \mathbb{R}^2|x^2+y^2\leq \dfrac{1}{4}\},\qquad \bar f([(x,y)])=f(x,y) \)

Para ver que es homemorfismo comprueba que es cerrada. Para ello puedes usar el siguiente argumento: \( X/S^1 \) es compacto por ser cociente de un compacto. Un cerrado \( A \) en un compacto es compacto; la imagen continua de un compacto es compacta; y un compacto dentro de un Hausdorf es cerrado.

Saludos.