Autor Tema: Calcular el grupo fundamental de los siguientes toros de mapeo.

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30 Septiembre, 2018, 12:51 pm
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Squee

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Antes que nada, mil disculpas si no uso terminología estandar, mi libro esta en inglés y no se si estaré traduciendo bien.

Asumo que todas mis funciones son continuas.
 
El toro de mapeo \( T_{f} \) de \( f:X \rightarrow X \) es el cociente de \( X \times I \) obtenido al identificar cada punto\( (x,0) \) con \( (f(x),1) \).

a) En el caso de \( X = S^{1} \wedge S^{1} \) con \( f \) que preserve el punto base, calcule una presentación de \( \pi_{1} (T_{f}) \) en terminos del mapeo inducido \( f_{*}: \pi_{1} (X) \rightarrow \pi_{1} (X) \).
b) Lo mismo que el ejercicio a) pero con \( X= S^{1} \times S^{1} \) un toro.
Pista: Una forma de hacer esto es construir \( T_{f} \) a partir de \( X \wedge S^{1} \) pegandole celulas.


a) Llamamos \( a,b \) con punto base en común \( x_{0} \) a los bucles generadores en \( X \).
Mi idea es armar un 1-esqueleto \( T_{1} \) en el que haya una copia de \( X \) correspondiendo a \( X \times 1/2 \) y una copia de \( f(X) \) correspondiente a \( (0,x) \sim (1,f(x)) \). Además de eso, les pego el circulo en \( (1/2,x_{0}) \)  y \( (0,x_{0}) \) respectivamente.

Sean \( \gamma_{1} : I \rightarrow T_{1}   \) dado por \( \gamma_{1} (t) = (t,x_{0}) \) y \( \gamma_{1} : I \rightarrow T_{2}   \) dado por \( \gamma_{2} (t) = (1-t,x_{0}) \)

A \( \pi_{1} (T_{1}) \) lo generan las clases de \( a,b, \gamma_{1} \overline{\gamma_{2}},  \gamma_{2} \overline{\gamma_{1}} ,\gamma_{1} f(a) \overline{\gamma_{1}}, \gamma_{1} f(b) \overline{\gamma_{1}}, \gamma_{2} f(a) \overline{\gamma_{2}}, \gamma_{2} f(b) \overline{\gamma_{2}}, \gamma_{2} f(a) \overline{\gamma_{1}}, \gamma_{1} f(b) \overline{\gamma_{2}}, \gamma_{2} f(b) \overline{\gamma_{1}}    \)

No estoy seguro de si tengo redudancia de generadores.

Mi idea siguiente es construir el grupo de \( T_{f} \) agregando las cuatro celulas dos dimensionales pegadas en:
\( a \gamma_{1} f(a) \overline{\gamma_{1}} \)
\( a \gamma_{2} f(a) \overline{\gamma_{2}} \)
\( b \gamma_{1} f(b) \overline{\gamma_{1}} \)
\( b \gamma_{1} f(b) \overline{\gamma_{2}} \)
Y por ende cocientar el grupo generado por los elementos anteriores para obtener una presentación de mi grupo. Claramente la clase de, por ejemplo, \( \gamma_{2} f(b) \overline{\gamma_{2}} \) es \( \[ \gamma_{2} \]  f_{*} \[ b \]  \[ \gamma_{2} \]^{-1} \) por lo que cumpliría con el enunciado.

Creo que debo haber sobrecomplicado el asunto así que decidí postearlo a ver si alguién puede ayudarme y echarle un poco de luz al asunto.

01 Octubre, 2018, 12:51 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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