[sugata]

¿Cuál es la derivada en un punto con tangente horizontal?

[mgb]

¿Cuál es la derivada en un punto con tangente horizontal?

Cuando la pendiente es horizontal es \( m=0 \)

[sugata]

Pues ya lo tienes. Iguala la derivada a cero y sacas y.

[mgb]

Pues ya lo tienes. Iguala la derivada a cero y sacas y.

Rayos como me cuesta, gracias. Seguire intentando. Muchas gracias

[mgb]

Pues ya lo tienes. Iguala la derivada a cero y sacas y.

Muchas gracias pude hacerlo, me quedo \( 0=\displaystyle\frac{-4+y}{2(y+1)}  \) y eso me dio \( y=4 \)
Reemplazando en \( x^2+y^2-x.y=a \)
\( 2^2+4^2-2.4=a \longrightarrow{a=4} \)
Gracias y buenas noches

[manooooh]

Hola

\( 2^2+4^2-2.4=a \longrightarrow{a=4} \)

Ojo con las cuentas, debería ser \( a=12 \).

Falta contestar a

Una vez obtenido "a" indicar todos los puntos completos donde la recta tangente es horizontal.

Hice un dibujo ilustrativo y parece que la otra recta tangente horizontal es cuando \( x=-2 \):

pero no se me ocurre cómo demostrarlo, ya que, desde aquí

\( y'=0\iff\dfrac{-2x+y}{2y-x}=0 \)

tiene sentido sólo cuando \( y=2x \) con \( x\neq2y \), así que los puntos son de la forma \( (a,2a),\;a\in\Bbb R\setminus\{0\} \), pero no sé cómo probar que \( a=x_0=-2 \) .

Mañana tengo el parcial y es el único tema que lo tengo  .

¡Mucha suerte! .

Saludos

[sugata]

Una forma de demostrarlo sería observando que si cambiamos de signo a x e y, la ecuación no cambia.

[manooooh]

Una forma de demostrarlo sería observando que si cambiamos de signo a x e y, la ecuación no cambia.

Mmmm, claro...

\( f:\Bbb R^2\to\Bbb R\mid f(x,y)=x^2+y^2-xy-12=f(-x,-y) \)

eso nos dice que es simétrica respecto a los ejes... ¿y qué podemos concluir? .

¿Que como en \( x=2 \) hay recta tangente horizontal, por la simetría, en \( x=-2 \) también habrá recta horizontal?

Me gusta mucho la idea . ¿Es propiamente una demostración, o hay que ser más "estrictos" con la prueba?

Saludos

P.D. Yo inventé el nombre \( f(x,y) \) pero no creo que el usuario haya visto funciones de varias variables. Debería quitar esa etiqueta y no poner nada pero no sé de otra manera .

[I am Bo]

Buenas,

...
pero no se me ocurre cómo demostrarlo, ya que, desde aquí

\( y'=0\iff\dfrac{-2x+y}{2y-x}=0 \)

tiene sentido sólo cuando \( y=2x \) con \( x\neq2y \), así que los puntos son de la forma \( (a,2a),\;a\in\Bbb R\setminus\{0\} \), pero no sé cómo probar que \( a=x_0=-2 \) .
...

Casi lo tenías,
Como \( y=2x \), sustituye en la ecuación de la curva:
\( x^2+(2x)^2-x\,(2x)=12\longrightarrow 3x^2=12\longrightarrow x_{0,1}=-2,2 \)

Saludos.

[I am Bo]

...
Una vez obtenido "a" indicar todos los puntos completos donde la recta tangente es horizontal.
...

Veo que pide que se indiquen los puntos completos, pues....

Para \( x=2 \) se tiene \( 4+y^2-2y-12=0\longrightarrow (y-4)(y+2)=0\longrightarrow y_{0,1}=-2,4 \).
La condición \( y=2x \) sólo la cumple \( y=4 \), un punto es el \( (2,4) \).

Para \( x=-2 \) y procediendo de la misma manera llegamos a \( (y+4)(y-2)=0\longrightarrow y_{0,1}=-4,2 \).
La condición se cumple para \( y=-4 \), el otro punto es \( (-2,-4) \).

Saludos.