Autor Tema: Duda con ejercicio resuelto de continuidad

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09 Octubre, 2018, 11:11 pm
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mgb

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Buenas noches, hice este ejercicio de limites ¿Podrían decirme si es correcto?. Muchísimas gracias.
Estudiar las discontinuidades de la función
\[ f(x)=\begin{cases} \frac{sen(x^2-1)}{\sqrt[]{x^2+3}-2} & \text{si}& x>-1\\2^{x/(x+3)} & \text{si}& x\leq{}1\end{cases} \]
Si tiene discontinuidad evitable redefinirla para que sea continua en ese punto.

Evaluo \[ f(-1)=\displaystyle\lim_{x \to{}-1}{} \] Por izquierda y derecha

\[ f(-1)=(x^\frac{2}{x+3})=0.707 \] Este resultado me parecio raro pero continue.

\[ \displaystyle\lim_{x \to{-}1^+}{\frac{sen(x^2-1)}{\sqrt[]{x^2+3}-2}}=\displaystyle\lim_{x \to{-}1^+}{\frac{sen(x^2-1)}{\sqrt[]{x^2+3}-2}}.\frac{\sqrt[]{x^2+3}+2}{\sqrt[]{x^2+3}+2}=\displaystyle\lim_{x \to{-}1^+}{\frac{sen(x^2-1).(\sqrt[]{x^2+3}+2)}{x^2+3-4}}=\displaystyle\lim_{x \to{-}1^+}{\frac{sen(x^2-1).(\sqrt[]{x^2+3}+2)}{(x^2-1)}}=\displaystyle\lim_{x \to{-}1^+}{{(\sqrt[]{x^2+3}+2)}}=4 \]

Continuo con \[ \displaystyle\lim_{x \to{-}1^-}{2^\frac{x}{x+3}}=0.707 \]

Por lo que tengo entendido esto seria una funcion esencial de salto finito de  \[ 4-0.707=3.29 \] unidades. ¿Es correcto?
Ademas creo que deberia estudiar la funcion para \[ x=1 \]
Gracias

Arregle los errores que me marcaron, disculpen. Prestare mucha mas atención.

10 Octubre, 2018, 12:12 am
Respuesta #1

Masacroso

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Está correcto, tienes alguna que otra errata en la presentación pero está bien. Fíjate que \[ f(-1)=2^{-\frac12}=\frac1{\sqrt 2} \], es otra forma de expresarlo.

10 Octubre, 2018, 12:14 am
Respuesta #2

delmar

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Hola

Hay errores tipográficos en el enunciado, que hay que subsanar, pienso que la función es :

\[ f(x)=\begin{cases} \displaystyle\frac{sen(x^2-1)}{\sqrt[ ]{x^2+3}-2} & \text{si}& x>-1\\ 2^{x/(x+3)} & \text{si}& x\leq{-1}\end{cases}
 \]

En ese caso la conclusión a la que llegas es correcta, es discontinua en forma inevitable en \[ x=-1 \], obviamente por no estar definida en \[ x=1 \] es discontinua también en \[ x=1 \] ¿será una discontinuidad evitable? ¿que ha de hacerse en caso fuera evitable?

Saludos

Se adelanto Masacroso; pero este aporte complementa

10 Octubre, 2018, 12:38 am
Respuesta #3

Masacroso

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Hola

Hay errores tipográficos en el enunciado, que hay que subsanar, pienso que la función es :

\[ f(x)=\begin{cases} \displaystyle\frac{sen(x^2-1)}{\sqrt[ ]{x^2+3}-2} & \text{si}& x>-1\\ 2^{x/(x+3)} & \text{si}& x\leq{-1}\end{cases}
 \]

En ese caso la conclusión a la que llegas es correcta, es discontinua en forma inevitable en \[ x=-1 \], obviamente por no estar definida en \[ x=1 \] es discontinua también en \[ x=1 \] ¿será una discontinuidad evitable? ¿que ha de hacerse en caso fuera evitable?

Saludos

Se adelanto Masacroso; pero este aporte complementa

Yo diría que más que complementar es la respuesta adecuada. No había mirado qué pasaba en otros puntos de la función, hay que investigar también en \[ x=1 \] que es una raíz del denominador de la primera rama.

10 Octubre, 2018, 12:46 am
Respuesta #4

manooooh

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Hola a todos

A mí me hace ruido el enunciado, al decir "en ese punto" sin especificar ninguno en particular.

¿Será que hay que redefinirla, si presenta discontinuidad, en \[ x=1 \]? ¿En \[ x=-1 \]? ¿En todas las discontinuidades evitables?

Saludos

10 Octubre, 2018, 04:49 am
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

A mí me hace ruido el enunciado, al decir "en ese punto" sin especificar ninguno en particular.

Es que no creo que el enunciado esté tan siquiera bien copiado. La frase:

Citar
Estudiar discontinuidad si es evitable redefinirla para que sea continua en ese punto.

está mal redactada.

Citar
¿Será que hay que redefinirla, si presenta discontinuidad, en \[ x=1 \]? ¿En \[ x=-1 \]? ¿En todas las discontinuidades evitables?

Se supone que hay que redefinirla en los puntos donde presente discontinuidades evitables.

A ese respecto hay una vieja discrepancia en la definición de continuidad; desde mi punto de vista (la definición de continuidad/discontinuidad que manejo) esta función no está definida en \[ x=1 \]. Eso no quiere decir que sea ni continua ni discontinua en ese punto; simplemente que el punto \[ x=1 \] no está en el dominio. Uno se puede plantear si se puede extender con continuidad a \[ x=1 \] y la respuesta es afirmativa.

Otros autores si llaman discontinuidad a un punto de la frontera del dominio donde no está definida la función.

Algo de esto se discutió por aquí:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?;topic=100693.0

Saludos.

10 Octubre, 2018, 10:15 am
Respuesta #6

mgb

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Buen día gracias por las repuestas. No conteste por qué lo resolví un poco tarde y me fui a dormir y hoy me levanté directo a la facultad. Revisaré todo apenas llegué. Disculpen si cometí errores y no cumplí con las normas.

10 Octubre, 2018, 10:55 am
Respuesta #7

mgb

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Hola a todos

A mí me hace ruido el enunciado, al decir "en ese punto" sin especificar ninguno en particular.

¿Será que hay que redefinirla, si presenta discontinuidad, en \[ x=1 \]? ¿En \[ x=-1 \]? ¿En todas las discontinuidades evitables?

Saludos
Esta es el enunciado tal cual esta en la fotocopia.
Estudiar las discontinuidades de la función \[ f(x) \]
Si tiene discontinuidad evitable redefinirla para que sea continua en ese punto.

10 Octubre, 2018, 10:56 am
Respuesta #8

mgb

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Hola

Hay errores tipográficos en el enunciado, que hay que subsanar, pienso que la función es :

\[ f(x)=\begin{cases} \displaystyle\frac{sen(x^2-1)}{\sqrt[ ]{x^2+3}-2} & \text{si}& x>-1\\ 2^{x/(x+3)} & \text{si}& x\leq{-1}\end{cases}
 \]

En ese caso la conclusión a la que llegas es correcta, es discontinua en forma inevitable en \[ x=-1 \], obviamente por no estar definida en \[ x=1 \] es discontinua también en \[ x=1 \] ¿será una discontinuidad evitable? ¿que ha de hacerse en caso fuera evitable?

Saludos

Se adelanto Masacroso; pero este aporte complementa
Gracias, arregle lo que estaba mal.

10 Octubre, 2018, 10:58 am
Respuesta #9

mgb

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Hola

Hay errores tipográficos en el enunciado, que hay que subsanar, pienso que la función es :

\[ f(x)=\begin{cases} \displaystyle\frac{sen(x^2-1)}{\sqrt[ ]{x^2+3}-2} & \text{si}& x>-1\\ 2^{x/(x+3)} & \text{si}& x\leq{-1}\end{cases}
 \]

En ese caso la conclusión a la que llegas es correcta, es discontinua en forma inevitable en \[ x=-1 \], obviamente por no estar definida en \[ x=1 \] es discontinua también en \[ x=1 \] ¿será una discontinuidad evitable? ¿que ha de hacerse en caso fuera evitable?

Saludos

Se adelanto Masacroso; pero este aporte complementa

Yo diría que más que complementar es la respuesta adecuada. No había mirado qué pasaba en otros puntos de la función, hay que investigar también en \[ x=1 \] que es una raíz del denominador de la primera rama.
Si tienes completa razon, solo que comparti en el punto \[ x=-1 \] por que era el que me presentaba dificultad. Gracias.