Autor Tema: Hallar el área de la porción de un círculo circunscrito a un cuadrado

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

09 Octubre, 2018, 03:15 am
Leído 3327 veces

manooooh

  • Matemático
  • Mensajes: 2,816
  • País: ar
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola!

Encontrar el área en rojo, si las medidas están en centímetros:




Uno se tiraría a la pileta intentando restar el área de cada figura, pero \( \pi\cdot1^2-(\sqrt\pi)^2=0 \), y eso sabemos que es imposible :laugh:.

Se trata de uno de los famosos planteamientos matemáticos de hace siglos atrás: Constructible Geometry: Easy as Squaring the Circle; Squaring the Circle - Numberphile.

Entiendo que es imposible hacerlo con regla y compás, pero ¿existe algún método analítico-matemático?

A mi no se me ocurre nada. ¿Tiene solución?

Gracias!
Saludos

09 Octubre, 2018, 06:00 am
Respuesta #1

delmar

  • Moderador Global
  • Mensajes: 2,006
  • País: pe
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola manooooh

El centro del círculo es el centro del cuadrado, utilizar geometría análitica origen de coordenadas el centro de ambas figuras, hallar los puntos de intersección entre la circunferencia y el cuadrado lineal hacer integraciones.


Saludos

09 Octubre, 2018, 07:45 am
Respuesta #2

manooooh

  • Matemático
  • Mensajes: 2,816
  • País: ar
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

El centro del círculo es el centro del cuadrado, utilizar geometría análitica origen de coordenadas el centro de ambas figuras, hallar los puntos de intersección entre la circunferencia y el cuadrado lineal hacer integraciones.

Gracias por la sugerencia. No sé cómo encontrar los puntos de corte ya que no conozco una ecuación de un cuadrado, sino los segmentos ???.

Por ejemplo, los extremos del cuadrado son (tomando como sistema de referencia al origen como el centro de ambas figuras) \( P_1=(-\frac{\sqrt\pi}2,-\frac{\sqrt\pi}2) \), \( P_2=(-\frac{\sqrt\pi}2,\frac{\sqrt\pi}2) \), \( P_3=(\frac{\sqrt\pi}2,-\frac{\sqrt\pi}2) \) y \( P_4=(\frac{\sqrt\pi}2,\frac{\sqrt\pi}2) \).

De todos modos, olvidé comentar que se debería poder llegar a la respuesta sin utilizar integrales, sino fórmulas de áreas conocidas y lo básico de geometría analítica.

Gracias y saludos

09 Octubre, 2018, 10:41 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 46,417
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

 Observa el dibujo.



 El área de cada zona amarilla es el área del sector circular menos el área del triángulo \( ACD \).

 El área del sector circular es \( \alpha r^2 \).

 \( \alpha=arccos(a/r) \)
 
 El área del triángulo \( ACD  \)es: \( ab \) y \( b=\sqrt{r^2-a^2} \).

 Con todo esto puedes terminar...

Saludos.

09 Octubre, 2018, 12:35 pm
Respuesta #4

sugata

  • Héroe
  • Mensajes: 2,494
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

 Observa el dibujo.



 El área de cada zona amarilla es el área del sector circular menos el área del triángulo \( ACD \).

 El área del sector circular es \( \alpha r^2 \).

 \( \alpha=arccos(a/r) \)
 
 El área del triángulo \( ACD  \)es: \( ab \) y \( b=\sqrt{r^2-a^2} \).

 Con todo esto puedes terminar...

Saludos.

Sabía que el resultado iba por ahí, pero me faltaban algunos conocimientos.
(area del sector circular.)

09 Octubre, 2018, 06:23 pm
Respuesta #5

manooooh

  • Matemático
  • Mensajes: 2,816
  • País: ar
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

El área del triángulo \( ACD  \)es: \( ab \) y \( b=\sqrt{r^2-a^2} \).

¿No debería ser que el área del triángulo es \( \frac{\text{altura}\cdot\text{base}}2 \)?

En este caso,

\( \text{altura}=\sqrt\pi/2,\quad\text{base}=\color{red}2b\color{black}=2\sqrt{r^2-a^2}, \)

así que el área del triángulo es

\( \dfrac{\sqrt\pi/2\cdot2\sqrt{r^2-a^2}}2=\dfrac{\sqrt\pi\sqrt{r^2-a^2}}2. \)

Por lo tanto

\( \text{Área }{\bf\color{yellow}\text{amarilla}}=\color{black}4\left(\alpha r^2-\dfrac{\sqrt\pi\sqrt{r^2-a^2}}2\right)=4\left(\arccos{\left(\dfrac{\sqrt\pi/2}1\right)}\cdot1^2-\dfrac{\sqrt\pi\sqrt{1-(\sqrt\pi/2)^2}}2\right)=\boxed{4\left(\arccos{(\sqrt\pi/2)}-\dfrac12\sqrt{(1-\pi/4)\pi}\right)\approx\color{magenta}0.2844\ldots}. \)

¿Bien?

Saludos

09 Octubre, 2018, 07:21 pm
Respuesta #6

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 46,417
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

El área del triángulo \( ACD  \)es: \( ab \) y \( b=\sqrt{r^2-a^2} \).

¿No debería ser que el área del triángulo es \( \frac{\text{altura}\cdot\text{base}}2 \)?

Si; la base es \( 2b \) la altura es \( a \) y por tanto el área es \( \dfrac{a\cdot (2b)}{2}=ab \).

Saludos.