Autor Tema: Encontrar todas las soluciones posibles (Demostración)

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02 Octubre, 2018, 10:33 pm
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CamiloDev

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Hola!

Agradecería mucho si me pudieran ayudar con el siguiente problema:

Los números \( x \) y \( z \) son enteros positivos tal que \( xz+1 \) divide a \( x^2 + z^2 \). Encontrar todas las soluciones que demuestran que \( \displaystyle\frac{x^2 + z^2}{xz+1} \) es el cuadrado de un entero.

Muchas gracias!

Mensaje corregido desde la administración.

03 Octubre, 2018, 07:37 am
Respuesta #1

martiniano

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Hola.

Spoiler

Un pequeño paso es observar que si uno de los números buscados es el cubo del otro todo funciona.

He intentado demistrar que no hay más soluciones pero he avanzado poco. \(  \)
[cerrar]


¿En qué contexto te surge el problema?

Por cierto, que si hubieses puesto las fórmulas entre cabezales de texto se hubieran visto en latex.

Saludos.

03 Octubre, 2018, 09:30 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 Bienvenido al foro.

 Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

 Por esta vez te hemos corregido el mensaje desde la administración.

Agradecería mucho si me pudieran ayudar con el siguiente problema:

Los números \( x \) y \( z \) son enteros positivos tal que \( xz+1 \) divide a \( x^2 + z^2 \). Encontrar todas las soluciones que demuestran que \( \displaystyle\frac{x^2 + z^2}{xz+1} \) es el cuadrado de un entero.

Muchas gracias!

Mensaje corregido desde la administración.

 Es un problema famoso, propuesto en las Olimpiadas Matemáticas Internacionales de 1988. En su enunciado original simplemente se pide demostrar que si el cociente es entero entonces es un cuadrado perfecto. Puedes ver varias discusiones del problema aquí:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=86758.0

 También se discuten formas de hallar soluciones explícitas.

Saludos.

10 Octubre, 2018, 08:52 pm
Respuesta #3

juan luis

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Hola Camilo, te mando una formula que nos da el cuadrado de todos los valores enteros de \( x \) cuando \( z=x^n \) .

\( \displaystyle\frac{x^2+z^2}{x^\left\{{n-2}\right\}*z+1}=x^2 \) .

Sustituimos \( z \) por \( x^n \) tendremos:

\( \displaystyle\frac{x^2+\left\{{x^n}^2\right\}}{x^\left\{{n-2}\right\}*x^n+1} \)=\( x^2 \) .

Como en este caso tenemos que  \( x^\left\{{n-2}\right\}=x \)  en el problema que propones, entonces será    \( n=3 \) luego para

\( z=x^3 \) se cumple, puesto que es un caso particular de la formula general.

Un saludo