... no puedo distinguir que método se utilizo para sacar esos valores, puedo estar suponiendo, probando modelos durante meses si vamos al caso y seguir sin encontrar la respuesta. Por lo que interpreto en la explicación no es una resolución de ecuaciones lineales sino sobre el calculo de la matriz, quizás este equivocado.
El autor probablemente no aplicó ningún método sino que cargó la matriz en un software (ej: Matlab) y pulsó Enter. No dió detalles porque lo importante son los requisitos que debe cumplir el spline y el planteo de las ecuaciones.
De todas maneras, para esa matriz el método mas apropiado es el de Gauss-Jordan.
Quizás alguien rápidamente al verlo puede orientarme a decir que se aplico, sinceramente a veces me sorprende la gente que enseña matemática pero no explica como llego a ciertos resultados.
Que no aclare como resolvió el sistema me parece secundario, el objetivo era mostrar la asignación de un polinomio para cada intervalo con continuidad en las derivadas.
Lo que me pareció "desprolijo" es decir que asignaba \( a_1=0 \) por conveniencia sin nada mas.
Cuando sobran grados de libertad se les asigna un valor siguiendo un criterio como puede ser la minimización de un error o simplemente estético.
Asignar \( a_1=0 \) implica una recta en el 1er tramo --> Como criterio es pobre.