Autor Tema: Nudos, números racionales y teoría de grupos.

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27 Septiembre, 2018, 07:44 am
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martiniano

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Hola.

No estoy seguro de que este mensaje esté en la sección adecuada, si eso lo movéis y ya está. Me gustaría comentaros, así con carácter anecdótico, una situación que me ocurrió este verano y que me dio, y me está dando de pensar.

Resulta que, como todos los veranos, recibimos una visita de unos familiares peninsulares (vivo en Mallorca), y uno de mis primos, de trece años de edad, había asistido a una especie de campamento matemático cuyo objetivo era divulgar la matemática, "crear afición" entre los jóvenes y cosas de esas. Como mi primo sabe que a mí me gustan las matemáticas, pues se trajo preparadas unas cuantas "adivinanzas" de las que aprendió ahí. La siguiente me llamó especialmente la atención:

Nos cogió a dos de nosotros y nos dio a cada uno un extremo de una misma cuerda. Hizo lo mismo con otros dos de nosotros y nos colocó de manera que las dos cuerdas, de igual longitud, quedasen paralelas, ocupando cada uno de nosostros cuatro una de las posiciones A,B,C o D de la figura:



Nos definió los únicos dos movimientos que podíamos hacer para crear un nudo con esas dos cuerdas, éstos eran:

Giro: La persona que estaba en la posición A pasaba a la posición B, la que estaba en B pasaba a C, la que estaba en C pasaba a D y la que estaba en D pasaba a A.

Trenza: La persona que estaba en la posición A pasaba por debajo de la cuerda que tenía cogida la persona que estaba en B para cambiar su posición con esta.

En el diagrama se muestra como acaban las cuerdas después de realizar dos trenzas y un giro. Nudo al que podríamos referirnos, en un principio como \( TTG \).



Nos dijo que podíamos hacer los movimientos que quisiésemos y en el orden que quisiésemos, que él sería capaz, tomando nota de los movimientos que realizásemos (añadido), de deshacer el nudo utilizando también esos dos movimientos únicamente. Hicimos un par de pruebas y así fue. La cosa estaba en ver si alguno era capaz de averiguar cómo lo había hecho e imitarle a él.

Después de tres días llevándome al trabajo dos trocitos de cuerda y de darle vueltas y vueltas resolví el problema. Lo que me llamó la atención era que el método que usé yo no se parecía apenas en nada al que utilizaba mi primo, método que obtuvieron los niños que participaron en el campamento asistidos por los monitores. Voy a comentar los dos métodos y cómo hallé el mío:

Mi método:
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Es fácil darse cuenta de que aplicar dos giros seguidos deja a cualquier nudo igual que estaba, por lo que el problema se reduce a saber deshacer un nudo formado a partir de secuencias de trenzas separadas de giros, por ejemplo, nudos del tipo: \( TTTTGTTTGTTTTTGTT \).

Para hacerlo basta con saber deshacer secuencias de trenzas. Por ejemplo, para el nudo anterior, empezaríamos deshaciendo la secuencia \( TT \), después el giro (con otro giro), después la secuencia \( TTTTT \), después otro giro, y así...

Lo que me llevó un poco más de tiempo fue darme cuenta de que aplicar la secuencia \( TGTGTG  \) a cualquier nudo, éste se mantenía igual. Y es precisamente esto lo que permite deshacer una sola trenza, con la secuencia \( GTGTG \), y con ello una secuencia arbitrariamente larga de trenzas.

Por ejemplo. Para deshacer: \( TTTTT \), empezamos deshaciendo la primera trenza: \( GTGTG \), luego la segunda: \( GTGTG \), y así cinco veces obteniendo: \( GTGTGGTGTGGTGTGGTGTGGTGTG=GTGTTGTTGTTGTTGT \).
 
Con esto se puede deshacer cualquier nudo obtenido de la manera descrita.
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El método de mi primo:
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Bueno, así para empezar, lo que me sorprendió del método de mi primo, es que para deshacer un nudo que yo había deshecho ya con mi método mi primo necesitaba calculadora  :o.

La clave del método está en asociar a cada nudo un número racional (o infinito). De manera que a la posición inicial se le asigna el \( 0 \) y se le van aplicando las siguientes operaciones sucesivamente:

\( t(x)=x+1 \) si al nudo \( x \) se le aplica una trenza.
\( g(x)=\displaystyle\frac{-1}{x} \) si al nudo \( x \) se le aplica un giro.

Observar que, efectivamente, \( g(t(g(t(g(t(x))))))=x \)

De lo que se trata es de que cuando toca deshacer el nudo realizado se aplica el siguiente algoritmo:

Si \( x>0 \) aplicar \( g(x) \) al número racional y \( G \) al nudo,
Si \( x<0 \) aplicar \( t(x) \) al número racional y \( T \) al nudo,
Si \( x=0 \) el algoritmo termina y el nudo se ha deshecho.

El algoritmo de mi primo funciona también siempre. Basta ver que al aplicar \( g(x) \) a un racional que está entre \( (0,1) \) se consigue reducir el denominador del mismo, y al aplicar \( t(x) \) el denominador no varía.
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Observaciones, relación con la teoría de grupos y la pregunta que me hago:
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Llama la atención que si a la posición inicial le aplicas \( G \) y luego todas las \( T \) que quieras, el nudo no cambia.
Igualmente, si al \( 0 \) le aplicas \( g(x) \) obteniéndose \( \infty \), y luego \( t(x) \) las veces que quieras el resultado tampoco cambia (\( \infty+1=\infty \)).

La relación del problema con la teoría de grupos es evidente. Habría cuatro operaciones sobre el conjunto de los nudos que tendrían estructura de grupo con la composición son las ya definidas \( T, G \) y:

\( T^{-1} \) Las personas en posiciones A y B se intercambian, pero esta vez la persona que estaba en la posición A pasa por encima de la cuerda que tiene cogida la persona que está en B .
\( G^{-1} \) Se realiza un giro en sentido contrario al que se realizaba con \( G \)

Se nos plantea demostrar que el subconjunto de operaciones que puedes lograr componiendo \( T \) y \( G \) las veces y en el orden que sea tiene esctructura de grupo y hallar el inverso de un elemento cualquiera.

Ya con la solución de mi primo en la mano, es fácil también vislumbrar un isomorfismo entre ese el grupo anterior y el de las aplicaciones sobre racionales obtenidas componiendo las aplicaciones que ya he descrito cuando he hablado de su método.

También se pueden definir acciones sobre cada uno de los grupos y el conjunto de los nudos o el de los racionales respectivamente.

Le estoy dando vueltas a varias cosas, pero es que ni siquiera consigo formularme una pregunta concreta acerca de la situación esta. A ver, lo que pasa es que tiene pinta que el método de mi primo encaja dentro de algún algoritmo para resolver algún problema general en teoría de grupos, o en alguna otra rama de las matemáticas. ¿Sabéis algo al respecto?
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Comentarios o aportaciones de cualquier tipo son más que bienvenidas por mi parte.

Saludos.

27 Septiembre, 2018, 08:37 pm
Respuesta #1

Gustavo

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Hola,

Leí rápido tu (¡interesante!) post y no puedo pensar mucho al respecto ahora, pero... en cuanto a la estructura de grupo, puedes mirar lo siguiente:

https://en.wikipedia.org/wiki/Modular_group#Group-theoretic_properties


27 Septiembre, 2018, 10:11 pm
Respuesta #2

martiniano

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Hola buenas.

Caramba Gustavo. Muchas gracias por tu aportación. Nunca había profundizado lo suficiente en teoría de grupos como para encontrarme con el grupo modular.

Me ha parecido entender que está relacionado con muchas otras ramas de las matemáticas. Qué interesante. Cuántos caminos nuevos en los que poder asomarse.

Saludos y gracias.