Autor Tema: Problema sobre cuadrado perfecto

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27 Septiembre, 2018, 02:44 am
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hortiz

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Buenas noches, quisiera que me ayuden con este problema de preparación para olimpiadas, gracias por anticipado.
Hallar todos los números naturales "a" tales que para todo natural "n" ,el número \( n(a + n) \) no es un cuadrado perfecto. Dar como respuesta la suma de estos valores.

27 Septiembre, 2018, 03:00 am
Respuesta #1

manooooh

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Hola

Acá no estamos para hacer la tarea, sino en ayudar a comprender qué no se entiende. Además considero que es perjudicial para vos que nosotros resolvamos un problema de olimpíadas sin que nos digas qué hiciste. Por favor, ¿podrías mostrar tus intentos con los aciertos y desaciertos?

Saludos

27 Septiembre, 2018, 03:28 am
Respuesta #2

hortiz

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Pero que mal educado, hay maneras de responder, si es que pido ayuda es porque no entiendo el problema.

27 Septiembre, 2018, 06:34 am
Respuesta #3

manooooh

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Hola

Pero que mal educado, hay maneras de responder, si es que pido ayuda es porque no entiendo el problema.

Ya, disculpas, no quería ser descortés. Lo que intento decir es que siempre es mejor para todos si nos indicás los intentos para poder entender por dónde puede ir la respuesta que buscás, ya que unos pueden responderte con cosas que quizás no querías o no te interesaban.

Saludos

27 Septiembre, 2018, 07:18 am
Respuesta #4

martiniano

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Hola.

Hallar todos los números naturales "a" tales que para todo natural "n" ,el número \( n(a + n) \) no es un cuadrado perfecto.

A ver si esto te sirve:

Spoiler
Los números que nos pide el enunciado son aquellos \( a\in{\mathbb{N}} \) tales que la siguiente ecuación de segundo grado en \( n \) no tiene soluciones naturales para ningún valor de \( k \):

\( n^2+an-k^2=0 \)

Aplicando la fórmula para ecuaciones de segundo grado: \( n=\displaystyle\frac{-a\pm{\sqrt[ ]{a^2-4k^2}}}{2} \)

Es decir que si existe \( k \) tal que \( a^2+(2k)^2 \) sea un cuadrado perfecto, pues ese \( a \) no nos sirve.

La pregunta entonces se puede transformar en: ¿Qué valores de \( a\in{\mathbb{N}} \) no están en ninguna terna pitagórica de la forma \( (a,2k,a^2+4k^2) \)?

¿Puedes seguir tú a partir de aquí?

AÑADIDO

Consejo: para lo de las olimpiadas es útil tener en la cabeza lo de la numeración de las ternas pitagóricas.
[cerrar]

Solución:
Spoiler
Sólo hay tres valores: el 4, el 2 y el 1. Para cualquier otro valor:

Si \( a \) no es potencia de dos: \( a=2^m(2l-1) \) tomar \( k=2^m(l^2-l) \) y resolver \( n^2+an-k^2=0 \)

Si a es potencia de dos mayor que cuatro: \( a=2^m \) tomar \( k=3\cdot{}2^{m-\color {red} 3 } \) y resolver \( n^2+an-k^2=0 \).
[cerrar]

Saludos.

27 Septiembre, 2018, 12:28 pm
Respuesta #5

feriva

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Buenas noches, quisiera que me ayuden con este problema de preparación para olimpiadas, gracias por anticipado.
Hallar todos los números naturales "a" tales que para todo natural "n" ,el número \( n(a + n) \) no es un cuadrado perfecto. Dar como respuesta la suma de estos valores.

Spoiler

Podemos empezar por mirar cuándo Sí es un cuadrado perfecto y después pensar cuándo no:

\( n(n+a)=m^{2}
  \)

\( n+a=\dfrac{m^{2}}{n}
  \)

\( a=\dfrac{m^{2}}{n}-n
  \)

\( \dfrac{a}{n}=\dfrac{m^{2}}{n^{2}}-1
  \): diferencia de cuadrados.

\( \dfrac{a}{n}=(\dfrac{m}{n}+1)(\dfrac{m}{n}-1)
  \)

\( a=n(\dfrac{m+n}{n})(\dfrac{m-n}{n})
  \)

\( an=m^{2}-n^{2}
  \)

coregido

De momento, todos los números impares “an” se pueden representar como diferencia de cuadrados.

Esto se usa mucho para factorizar números

https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_factorizaci%C3%B3n_de_Fermat

[cerrar]

27 Septiembre, 2018, 12:59 pm
Respuesta #6

martiniano

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Hola feriva.

Disculpa, pero creo que te falta multiplicar el miembro de la izquierda por una \( n \). Si es así  no hace falta dar tantas vueltas para llegar ahí.

Por otro lado, ¿has encontrado algún error en mi respuesta o simplemente querías proponer otro camino? Porque si es lo primero me gustaría saber dónde me he equivocado.

Saludos y gracias.

27 Septiembre, 2018, 01:05 pm
Respuesta #7

feriva

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Hola feriva.

Disculpa, pero creo que te falta multiplicar el miembro de la izquierda por una \( n \). Si es así  no hace falta dar tantas vueltas para llegar ahí.

Por otro lado, ¿has encontrado algún error en mi respuesta o simplemente querías proponer otro camino? Porque si es lo primero me gustaría saber dónde me he equivocado.

Saludos y gracias.

Hola, martiniano. Simplemente era comentar eso nada más, comentar ese aspecto que surgía (de hecho no había mirado tu respuesta cuando lo hice)

Ahora corrijo, sí, he cancelado una n de más

Saludos.

27 Septiembre, 2018, 03:45 pm
Respuesta #8

martiniano

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Vale, vale, perfecto entonces.

Es que últimamente con estos problemas tengo una mala racha y ya estaba preocupado por si la había vuelto a liar.

Saludos  ;)

27 Septiembre, 2018, 04:59 pm
Respuesta #9

feriva

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Vale, vale, perfecto entonces.

Es que últimamente con estos problemas tengo una mala racha y ya estaba preocupado por si la había vuelto a liar.

Saludos  ;)

Tratándose de mí cuenta siempre con que el que se ha equivocado soy yo; salvo milagro rarísimo :)

Gracias por el aviso; si no, se queda sin la "n" ahí.

Saludos.