Autor Tema: Demostrar que una serie es absolutamente convergente

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01 Octubre, 2018, 04:43 pm
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Juan Sánchez

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Sea \( X_n \) una sucesión absolutamente convergente, cómo puedo demostrar que \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{X_n}{1+X_n}} \), \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{X_n^2} \).

Para la primera serie, he visto que \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{X_n}{1+X_n}}=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{1}{1+\displaystyle\frac{1}{X_n}}} \) por lo que el denominador tiene a infinito y por lo tanto la serie converge. Esta bien?

Cómo demuestro si la segunda serie es absolutamente convergente?

01 Octubre, 2018, 05:41 pm
Respuesta #1

Muaddib

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Sea \( X_n \) una sucesión absolutamente convergente, cómo puedo demostrar que \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{X_n}{1+X_n}} \), \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{X_n^2} \).

Para la primera serie, he visto que \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{X_n}{1+X_n}}=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{1}{1+\displaystyle\frac{1}{X_n}}} \) por lo que el denominador tiene a infinito y por lo tanto la serie converge. Esta bien?

Cómo demuestro si la segunda serie es absolutamente convergente?

¿Está bien copiado el enunciado? ¿La sucesión \( X_n \) es absolutamente convergente, o es la serie de término general \( X_n \)?  Si es esto último, que el denominador de la primera serie tienda a infinito no garantiza que sea convergente.

Para la primera se puede proceder así: Como \( X_n \) tiende a 0 entonces, para n "suficientemente grande" \( |1+X_n|>\frac{1}{2} \) y en consecuencia \( \displaystyle\frac{|X_n|}{|1+X_n|}<2|X_n| \)... Te dejo los detalles.

Para la otra, para n "suficientemente grande" \( |X_n|<1 \) y entonces \( |X_n^2|<|X_n| \).... Te dejo los detalles.

01 Octubre, 2018, 06:25 pm
Respuesta #2

Juan Sánchez

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Si perdona, acabo de darme cuenta que no entiendo qué diferencia hay entre que la sucesión \( X_n \) sea absolutamente convergente, o lo sea serie de término general \( X_n \). En todo caso,  el enunciado correcto es:

Sea \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty X_n \) absolutamente convergente, cómo puedo demostrar que \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{X_n}{1+X_n}} \), \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{X_n^2} \) también lo son?

01 Octubre, 2018, 09:43 pm
Respuesta #3

Fernando Revilla

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Si perdona, acabo de darme cuenta que no entiendo qué diferencia hay entre que la sucesión \( X_n \) sea absolutamente convergente, o lo sea serie de término general \( X_n \).

Que la sucesión \( X_n \) sea absolutamente convergente significa que \( \left |{X_n}\right | \) es convergente. Que la serie \( \sum_{n=1}^{\infty}X_n \) sea absolutamente convergente significa que la serie \( \sum_{n=1}^{\infty}\left |{X_n}\right | \) es convergente, es decir que la sucesión \( S_n=\sum_{k=1}^n \left |{X_k}\right | \) de sus sumas parciales es convergente.