Autor Tema: Buscar todas las raíces de \(z^4-9+9i=0\)

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25 Septiembre, 2018, 07:06 pm
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OriolRama

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Hola!

En un ejercicio tengo que buscar las raíces de \( z^4-9+9i=0 \) , siendo z perteneciente a los complejos, lo que se me ocurre a mí es decir que:  \( z^4=9-9i \), entonces  \( z=x+yi \) y desarrollar el  \( z^4 \). Llego a que:

 \( Im(z)=6x^3 y=-9 \), es decir igualo la parte imaginaria de z^4 a -9, y la parte real de z a 9. Pero de allí no sé avanzar más para llegar a la solución de la ecuación.

Lo mismo me pasa con  \( e^z=e \). En esta digo que  \( e^x e^{yi}=e \), por lo que:
\( e^x=e \) i \( e^{yi}=0 \). Sale que en principio x=1 y \( cos(y)+isen(y)=0 \) por lo que es imposible.

Como veis vosotros estos dos casos¿?

25 Septiembre, 2018, 07:13 pm
Respuesta #1

Juan Pablo Sancho

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Tienes:
\( z^4 = 9-9 \cdot i  \) entonces:
\( z = \sqrt[4]{9-9i} = \cdots  \) pasar a polares \(  9    -    9 \cdot i  \) y sacar las cuatro raíces.

26 Septiembre, 2018, 06:29 pm
Respuesta #2

OriolRama

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Hola,
ya está solucionado.
El primero correctamente se tenía que pasar a polar, pero lo que me pasó es que las raíces de z son valores numéricos irracionales, por ejemplo un solución de z es: \( 1'852521-0'368489i \) .
 
El segundo problema es casi lo mismo: Si  \( e^z=e \) Entonces \( e=e e^{i2πk} ∀ k ∈ Z \) . Entonces es lógico pensar que :
\( z-1=i2πk \).