Autor Tema: Conjunto de Medida Cero

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14 Septiembre, 2018, 10:14 pm
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Rocket

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Hola, necesito ayuda para resolver el siguiente ejercicio:
CORREGIDO
Supongamos que se tiene una sucesión creciente de enteros positivos \( \left\{{n_k}\right\} \). Sea \( E \) el conjunto de los \( x\in (-\pi,\pi) \) tales que \( \left\{{\sen(n_k x)}\right\} \) converge.
Demuestre que \( m(E)=0 \)
 :banghead: :banghead: :banghead:

Cualquier orientación será bien recibida.

14 Septiembre, 2018, 11:07 pm
Respuesta #1

Masacroso

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Hola, necesito ayuda para resolver el siguiente ejercicio:

Supongamos que se tiene una sucesión creciente de enteros positivos \( [tex]\left\{{n_k}\right\} \)[/tex]. Sea \( E \) el conjunto de los \( x\in (-\pi,\pi) \) tales que \( \left\{{sen(n_k x)}\right\} \) converge.

 :banghead: :banghead: :banghead:

Cualquier orientación será bien recibida.

¿Cuál es la pregunta del ejercicio?

15 Septiembre, 2018, 05:15 am
Respuesta #2

Rocket

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Cierto. Lo olvidé.  :banghead:

La cuestión es: Demuestre que \( m(E)=0 \)

15 Septiembre, 2018, 10:54 am
Respuesta #3

Masacroso

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Supongo que la sucesión \( \{n_k\} \) es siempre la misma (sea la que sea).

En ese caso creo que hay que mostrar que \( E \) es contable. Si no me equivoco si la sucesión de senos converge entonces los \( x\in E \) son de la forma \( q\pi \), donde los valores de \( q \) son racionales y dependen de la sucesión \( n_k \).

Creo que por ahí deben ir los tiros, habría que probar a ver si es así o no.

15 Septiembre, 2018, 12:27 pm
Respuesta #4

Fernando Revilla

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Supongamos que se tiene una sucesión creciente de enteros positivos \( \left\{{n_k}\right\} \). Sea \( E \) el conjunto de los \( x\in (-\pi,\pi) \) tales que \( \left\{{\sen(n_k x)}\right\} \) converge.

Mira en Solutions Manual to Walter Rudin's Principles of Mathematical Analysis (capítulo 11, ejercicio 11.16).

15 Septiembre, 2018, 06:18 pm
Respuesta #5

Rocket

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Ya revisé. Iré copiando por acá los detalles para verificar.

15 Septiembre, 2018, 07:05 pm
Respuesta #6

Rocket

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Sea \( A\subset E \), por el Lema de Riemman-Lebesgue se tienen los siguientes resultados:

\( \displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{\displaystyle\int_A{sen(n_kx)dx}}=0 \),

\( \displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{\displaystyle\int_A{cos(2n_kx)dx}}=0 \)

De este último resultado, se obtiene que:

\( \displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{2\displaystyle\int_A{(sen(n_kx))^2dx}}=\displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{\displaystyle\int_A{(1-cos(2n_kx))dx}}=\displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{\displaystyle\int_A{1dx}}-\displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{{\displaystyle\int_A{cos(2n_kx)dx}}}=m(A)-0=m(A) \).


Definamos

\( f(x)=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{sen(n_kx)},\, x\in E \)

Sabemos que \( |sen(n_kx)|\leq 1 \) para cada \( x\in E \), usando el Teorema de Convergencia Dominada de Lebesgue,


\( \displaystyle\int_E{f(x)dx}=\displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{\displaystyle\int_E sen(n_kx)dx} \). De dónde se justifica la integración término a término siguiente y usando el hecho que \( \displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{2\displaystyle\int_A{(sen(n_kx))^2dx}}=m(A) \). :

\( \displaystyle\int_A{(f^2(x)-\frac{1}{2})dx}=\displaystyle\int_A{(f^2(x))dx}-\displaystyle\int_A{(\frac{1}{2})dx}=\frac{m(A)}{2}-\frac{m(A)}{2}=0 \)


Usando el siguiente resultado: Si \( \displaystyle\int_A f d\mu=0  \) para cada subconjunto \( A \) del conjunto medible \( E \) se tiene que \( f(x)=0 \) casi en todas partes en \( E \), de donde se tiene que:

\( f^2(x)-\frac{1}{2}=0 \) casi en todas partes en \( E \), esto es \( f(x)=\pm\frac{1}{\sqrt{2}} \) casi en todas partes en \( E \).







15 Septiembre, 2018, 08:21 pm
Respuesta #7

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Ahora, pregunto, si considero \( A \) el subconjunto de \( E \) tal que \( f(x)=\frac{1}{\sqrt{2}} \), ¿por qué puedo asegurar que \( \displaystyle\int_Af(x)dx=0 \)?

18 Septiembre, 2018, 09:07 am
Respuesta #8

Fernando Revilla

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Ahora, pregunto, si considero \( A \) el subconjunto de \( E \) tal que \( f(x)=\frac{1}{\sqrt{2}} \), ¿por qué puedo asegurar que \( \displaystyle\int_Af(x)dx=0 \)?

¿Cuál es valor de la integral de la función nula sobre cualquier conjunto medible?

19 Septiembre, 2018, 04:41 am
Respuesta #9

Rocket

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Pero tengo que \( f(x)=\frac{1}{\sqrt{2}} \) casi en todas partes sobre \( E \), no he conseguido que sea la función nula aún.

19 Septiembre, 2018, 07:47 am
Respuesta #10

Fernando Revilla

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Pero tengo que \( f(x)=\frac{1}{\sqrt{2}} \) casi en todas partes sobre \( E \), no he conseguido que sea la función nula aún.

Tu función no es la \( f \) del resultado teórico, sino \( f^2(x)-\displaystyle\frac{1}{2}. \)

21 Septiembre, 2018, 04:35 am
Respuesta #11

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 ;D

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