Autor Tema: Dar una fórmula explícita

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15 Agosto, 2018, 04:20 am
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cristianoceli

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Hola tengo dificultades con este ejercicio, no se me ocurre qué hacer

Sea \( \varepsilon \) la proyección estereográfica de \( \mathbb{S}^1- \{i \} \), o sea

\( \varepsilon : \mathbb{S}^1 - \{i \} \longrightarrow{\mathbb{R}} \)

donde

\( \varepsilon(z)=\displaystyle\frac{RE(z)}{1-Im(z)} \)

Dar una fórmula explícita para \( \varepsilon^{-1} :\mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{S}^1}- \{i \}  \)

De antemano gracias.

Saludos

15 Agosto, 2018, 05:54 pm
Respuesta #1

Gustavo

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Hola,

Para hallar \( \varepsilon \) tomas un complejo \( z=x+iy \) en \( \mathbf S^1\setminus\{i\} \) y lo piensas como punto en \( \mathbf R^2 \), o sea, \( (x,y) \). Ahora tomas el complejo \( i \), que corresponde a \( (0,1) \) y hallas la recta que pasa por esos dos puntos:

\( (0,1)+t((x,y)-(0,1))=(tx,1+t(y-1)) \) con \( t\in \mathbf R \).

Averiguas cuándo esa recta pasa por el eje real, es decir, cuándo la segunda coordenada es \( 0 \).

Esto ocurre cuando \( t=-\dfrac{1}{y-1}=\dfrac{1}{1-y} \).

Evalúas ese valor de \( t \) para ver qué punto de \( \mathbf R \) obtienes y llegas a \( \left( \dfrac{x}{1-y},0\right) \), que corresponde a \( \dfrac{\mbox{Re}(z)}{1-\mbox{Im}(z)} \).

Para hallar \( \varepsilon^{-1} \) haces el proceso inverso.

16 Agosto, 2018, 02:21 am
Respuesta #2

cristianoceli

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Hola, muchas gracias por tu respuesta.

Tengo algunas dudas



Como encuentro el valor de \( t=-\dfrac{1}{y-1}=\dfrac{1}{1-y} \). y lo otro para encontrar \( \varepsilon^{-1} \) basta hacer el proceso inverso. Eso quiere decir que ¿basta con devolverse? es decir, partir que:

\( \left( \dfrac{x}{1-y},0\right) \), que corresponde a \( \dfrac{\mbox{Re}(z)}{1-\mbox{Im}(z)} \)

y llegaríamos finalmente a \( (t_x,1+t(y-1)) \) ?

Saludos


16 Agosto, 2018, 05:16 pm
Respuesta #3

Gustavo

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Hola,

Como encuentro el valor de \( t=-\dfrac{1}{y-1}=\dfrac{1}{1-y} \).

Lo dije en mi anterior respuesta:

Averiguas cuándo esa recta pasa por el eje real, es decir, cuándo la segunda coordenada es \( 0 \).

y lo otro para encontrar \( \varepsilon^{-1} \) basta hacer el proceso inverso. Eso quiere decir que ¿basta con devolverse? es decir, partir que:

\( \left( \dfrac{x}{1-y},0\right) \), que corresponde a \( \dfrac{\mbox{Re}(z)}{1-\mbox{Im}(z)} \)

y llegaríamos finalmente a \( (t_x,1+t(y-1)) \) ?

No. Si para hallar \( \varepsilon \) tomamos la recta que pasa por \( i \) y \( z \) para ver dónde interseca el eje real, el proceso inverso es tomar la recta que pasa por \( i \) y un punto en el eje real para ver dónde interseca el círculo.

16 Agosto, 2018, 09:44 pm
Respuesta #4

cristianoceli

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Hola,

Como encuentro el valor de \( t=-\dfrac{1}{y-1}=\dfrac{1}{1-y} \).

Lo dije en mi anterior respuesta:

Averiguas cuándo esa recta pasa por el eje real, es decir, cuándo la segunda coordenada es \( 0 \).

y lo otro para encontrar \( \varepsilon^{-1} \) basta hacer el proceso inverso. Eso quiere decir que ¿basta con devolverse? es decir, partir que:

\( \left( \dfrac{x}{1-y},0\right) \), que corresponde a \( \dfrac{\mbox{Re}(z)}{1-\mbox{Im}(z)} \)

y llegaríamos finalmente a \( (t_x,1+t(y-1)) \) ?

No. Si para hallar \( \varepsilon \) tomamos la recta que pasa por \( i \) y \( z \) para ver dónde interseca el eje real, el proceso inverso es tomar la recta que pasa por \( i \) y un punto en el eje real para ver dónde interseca el círculo.

Ok entiendo.

Saludos

18 Agosto, 2018, 03:50 am
Respuesta #5

cristianoceli

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Lo que he intentado:



Sea \( kz \) la recta que pasa por \( i \) y por \( z \)

Luego \( m_{kz} = \displaystyle\frac{0-Im(z)}{c-RE(z)} =\displaystyle\frac{Im(z)}{Re(z)-c} \)

Por lo tanto la ecuaación es

\( y= \displaystyle\frac{Im(z)}{Re(z)-c} x +i \)

Entonces esto \( y= \displaystyle\frac{Im(z)}{Re(z)-c} x +i \) seria la inversa de ser asi no entiendo por que el dominio es \( \mathbb{R} \) y el codominio \( \mathbb{S} - \{i \} \)

18 Agosto, 2018, 08:03 pm
Respuesta #6

Gustavo

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Hola,

No está bien. Partes con un punto en el eje real y con el complejo \( i \). Eso corresponde a los puntos \( (c,0) \) y \( (0,1) \) en \( \mathbf R^2 \). Hallas luego una ecuación para la recta que pasa por esos dos puntos. Esa recta interseca al círculo unitario en dos puntos: uno ya lo conocemos que es \( (0,1) \), el otro es el que debemos buscar, que puedes llamar \( (x,y) \). Debes hallar a \( x \) y a \( y \) en términos de \( c \).

No es claro de tu figura dónde tomas \( z \).

18 Agosto, 2018, 08:43 pm
Respuesta #7

cristianoceli

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Hola,

No está bien. Partes con un punto en el eje real y con el complejo \( i \). Eso corresponde a los puntos \( (c,0) \) y \( (0,1) \) en \( \mathbf R^2 \). Hallas luego una ecuación para la recta que pasa por esos dos puntos. Esa recta interseca al círculo unitario en dos puntos: uno ya lo conocemos que es \( (0,1) \), el otro es el que debemos buscar, que puedes llamar \( (x,y) \). Debes hallar a \( x \) y a \( y \) en términos de \( c \).

No es claro de tu figura dónde tomas \( z \).

Bien ya entiendo debemos resolver el sistema


Saludos y muchas gracias