Autor Tema: Mostrar que a=b si y solo si |b−a|<ϵ para todo ϵ>0

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12 Agosto, 2018, 02:58 pm
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lcdeoro

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Mostrar que \( a=b \) si y solo si \( \left |{b-a}\right |<\epsilon \) para todo \( \epsilon>0 \)

Una definición bastante conocida, pero no logro justificar de la manera correcta. alguna idea.

12 Agosto, 2018, 09:20 pm
Respuesta #1

robinlambada

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Hola.
Mostrar que \( a=b \) si y solo si \( \left |{b-a}\right |<\epsilon \) para todo \( \epsilon>0 \)

Una definición bastante conocida, pero no logro justificar de la manera correcta. alguna idea.
1) \( a=b\Rightarrow{}\left |{b-a}\right |<\epsilon \) para todo \( \epsilon>0 \)

No es complicado: \( a=b\Leftrightarrow{}b-a=0\Rightarrow{}|b-a|=0<\epsilon>0 \)

2) \( \left |{b-a}\right |<\epsilon\Rightarrow{}a=b \)

Prueba por reducción al absurdo, supón \( a\neq{}b \), por ejemplo \( b-a>0 \) , toma \( \epsilon= \dfrac{b-a}2>0 \) entonces no se da la condición \( \left |{b-a}\right |<\epsilon , \, \,\forall{}\epsilon>0 \)

Saludos.
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