[cristianoceli]

Hola tengo dudas con este ejercicio no se ni como empezar la demostración

Demuestre que la representación en series de potencias es única. Concretamente, si \( \displaystyle\sum_{n=0}^{}a_nx^n=\displaystyle\sum_{n=0}^{}b_nx^n \) para todo \( x\in{(-R,R)} \) entonces demuestre que \( a_n=b_n \), para todo \( n\in{\mathbb{N}}\cup{0} \)

De antemano gracias

[Masacroso]

Supón que hay dos series de potencias con radio de convergencia positivo que representan la misma función, entonces su resta define una serie de potencias nula con, al menos, radio de convergencia positivo dado por el mínimo de los radios de convergencia de las series originales.

Entonces la demostración se reduce a demostrar que una serie de potencias que representa la función cero tiene todos sus coeficientes nulos, es decir, iguales a cero.

A partir de ahí una cosa que se puede hacer es tomar una estimación de una cola cualquiera de esa serie de potencia nula y demostrar que necesariamente cualquier coeficiente es cero al sustituir valores en la estimación arbitrariamente cercanos a cero y sabiendo que una serie de potencias representa una función continua.

[cristianoceli]

Supón que hay dos series de potencias con radio de convergencia positivo que representan la misma función, entonces su resta define una serie de potencias nula con, al menos, radio de convergencia positivo dado por el mínimo de los radios de convergencia de las series originales.

Entonces la demostración se reduce a demostrar que una serie de potencias que representa la función cero tiene todos sus coeficientes nulos, es decir, iguales a cero.

A partir de ahí una cosa que se puede hacer es tomar una estimación de una cola cualquiera de esa serie de potencia nula y demostrar que necesariamente cualquier coeficiente es cero al sustituir valores en la estimación arbitrariamente cercanos a cero y sabiendo que una serie de potencias representa una función continua.

Ok lo intentaré

Saludos