Hola, Juan Luis, se me ha ocurrido desarrollar un poco esto.
Me hice un lío con eso de separar compuestos pares e impares, no es necesario; lo del spoiler no vale.Spoiler
Parto de tu identidad:
\( Ppr=Pr+Pco-Np
\)
Como tomo los “n-1” números de cada lado, la cantidad de parejas de compuestos formadas por dos pares será
\( \lfloor\dfrac{n-1}{2}\rfloor
\) (sin parejas de compuestos impares)
Donde esta especie de corchetes indica que tomo la parte entera, ya que, si “n” fuera par hay que quitar la mantisa y quedarse con la parte entera para obtener la cantidad de parejas de pares.
Sin embargo, hay que restar 1 porque la pareja de pares que contiene el 2 es mixta, no es de compuestos. Son entonces
\( \lfloor\dfrac{n-1}{2}\rfloor-1
\)
Por ejemplo, si tenemos el par 14
\( {\color{blue}0},1,2,3,4,5,6,{\color{blue}7},8,9,10,11,12,13,{\color{blue}14}
\)
y cuentas los números que hay a cada lado entre los azules verás que son n-1=7-1=6, que es la cantidad de parejas en total (o sea, Np=12). Si tomas sólo las parejas compuestos pares son 6/2=3; éstas
2+12
4+10
6+8
donde hay que quitar la pareja (2,12) por ser primo el 2, no es de compuestos.
Donde digo compuestos, es bueno entender mejor “no primos”, porque llamando así al conjunto cabe el 1, que no es compuesto ni primo.
Entonces, si llamamos por ejemplo k a la cantidad de parejas de dos compuestos impares, tenemos que la cantidad total de parejas de compuestos es
\( Pco=\lfloor\dfrac{n-1}{2}\rfloor-1+k
\)
Y tomando \( Np=n-1 \), tu identidad queda así:
\( Ppr=Pr+\lfloor\dfrac{n-1}{2}\rfloor+k-1-(n-1)
\)
O sea:
\( Ppr=Pr+\lfloor\dfrac{n-1}{2}\rfloor+k-n
\)
Si ahora buscamos el caso crítico, el posible fallo de la conjetura haciendo \( Ppr\approx0
\), y usamos la función pi para contar los primos escribiendo \( Pr\approx\dfrac{2n}{log(2n)}
\), al sustituir tenemos:
\( 0\approx\dfrac{2n}{log(2n)}+\lfloor\dfrac{n-1}{2}\rfloor+k-n
\)
y despejando
\( k\approx n-\dfrac{2n}{log(2n)}-\lfloor\dfrac{n-1}{2}\rfloor
\)
Esto implica que si no se llegara nunca a esa cantidad de parejas de compuestos impares se cumpliría la conjetura; pues la cantidad de primos real es mayor, no menor.
Y parece también implicar (parece, pero no) que para que la conjetura no se cumpla al 100% seguro, la cantidad de compuestos impares (que es 2k, se ve mejor así que con las parejas;no perdón, en este que sigue hay que considerar las parejas, no los compuestos impares, porque faltan los de las parejas mistas, así que la fórmula es sin multiplicar por 2) tiene que tender a
\( 2n-\dfrac{4n}{log(2n)}-(n-1)
\) (donde quito lo de la parte entera para tomar la aproximación)
que operando queda
\( n-\dfrac{4n}{log(n)}+1
\)
\( n(1-\dfrac{4}{log(2n)})+1
\).
Sin embargo, no es cierto que ocurra tal suceso, porque, la cantidad de primos que nos da la función \( \pi(2n)
\) es precisamente siempre inferior a la real (también en el “infinito”; y no sólo eso, sino que, cuanto más hacia el infinito, en más cantidad de primos difiere de la cantidad real, más diferencia hay).
Pero además, de hecho, para que exista la posibilidad teórica de que la conjetura se cumpla, basta con que haya un primo en el intervalo (n,2n); porque ese primo siempre es coprimo con 2n y, por tanto, tiene la posiblidad teórica de emparejarse con otro primo del itervalo (0,n) -donde siempre existen primos de forma obvia- y sumar 2n.
Dado que el postulado de Bertrand, que está demostrado, asegura que hay primos en dicho intervalo, la conjetura no es imposible (teóricamente) para ningún número por grande que sea. Y esto no es contradictorio (aunque lo parezca) con que la probabilidad para que se cumpla pueda ser cero; la probabilidad puede ser cero para números muy grandes y cumplirse debido a alguna razón desconocida; razón que haría que ciertos primos “supieran” donde tienen que “colocarse”.
Es decir, para un número grande, la cantidad de compuestos impares, seguramente, puede ser este “límite crítico” \( n(1-\dfrac{4}{log(2n)})+1
\) (ya programaré a ver) o puede ser mayor quizá y no por ello implica la imposibilidad de que se cumpla la conjetura.
Para que tal expresión marcara la imposibilidad tendríamos que haber operado con la cantidad real de primos; pero nunca se daría la cantidad de compuestos impares según la fórmula, porque negaría el postulado de Bertrand, negaría la existencia de primos en el intervalo (n,2n); y esta afirmación es segura, basada en algo demostrado.
Teníamos
\( Pr=2\cdot Ppr+Pm
\)
Como hemos hecho \( Ppr=0
\) entonces la cantidad de compuestos impares que faltan son
\( Pm=Pr
\) (porque las parejas Pm tienen un primo y un no primo impar salvo la de 2; que ahora se la quito)
por tanto vale la fórmula para lo todo lo dicho si le sumamos Pr-1
\( n-\dfrac{4n}{log(2n)}+1+Pr-1
\)
y como estamos tomando la aproximación según pi(2n)
\( n-\dfrac{4n}{log(2n)}+\dfrac{2n}{log(2n)}
\)
o sea
\( CI=n-\dfrac{6n}{log(2n)}
\) CI= compuestos imapares.
Está sería la cantidad “crítica” de compuestos impares, la otra fórmula no vale.
La cuestión es ésta
\( Ppr=Pr+Pco-Np
\)
Haciendo Np=n-1
\( Ppr=Pr+Pco-(n-1)
\)
La cantidad de primos es
*\( Pr=(2\cdot Ppr+Pm)
\)
sustituyendo Pr en la primera, entonces
\( Ppr=(2\cdot Ppr+Pm)+Pco-(n-1)
\)
Despejando Ppr
\( 0=Ppr+Pm+Pco-(n-1)
\)
Ahora, la cantidad de compuestos total es todos los que hay en \( Pco
\) más todos los que hay en las parejas mixtas; que son \( 2Pco+Pm
\)
Si despejamos Pco en la ecuación de antes, tenemos
\( -Ppr-Pm+(n+1)=Pco
\)
la cantidad tatal de compuestos se queda escrita así entonces
\( 2(-Ppr-Pm+(n+1))+Pm
\)
o sea
\( -2Ppr-Pm+2(n+1)
\)
Ahora, si la cantidad de parejas de primos (Ppr) fuera cero, la cantidad de compuestos sería
\( -Pm+2(n+1)
\)
Como por la igualdad señalada con *, tenemos
\( Pr=(2\cdot Ppr+Pm)
\)
En caso de Ppr=0 tenemos \( Pr=Pm)
\), y sustituyendo en lo anterior, la cantidad de compuestos quedaría en
\( -Pr+2(n+1)
\)
Lógico, pues los 2(n+1) son todos los números considerados, (donde no entran n y 2n). Teniendo en cuenta que el 1 es no primo, pues al restar todos los primos nos quedan los compuestos si metemos el 1 con ellos, como he considerado yo.
Nada que no supiéramos, no veo la forma de encontrar algo con esto; de memento.
Saludos.
