Autor Tema: Estudio sobre la conjetura de Goldbach (3)

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12 Agosto, 2018, 12:43 pm
Respuesta #10

juan luis

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Hola feriva, si que hay una diferencia de 1 porque en la formula no tenemos en cuenta el primo 3 luego en la formula, en el caso de que forme par con \( \pm{3} \)  siempre tendrá una unidad menos.

Se puede comprobar porqué pasa esto, en la lista siguiente:

       \( 70=67+3 \)
       \( 130=127+3 \)
       \( 154=151+3 \)
       \( 190=193-3 \)
       \( 238=241-3 \)
       \( 286=283+3 \)
       \( 322 \textrm{ con la formula me salen 11 pares de primos  no 10} \)
       \( 370=367+3 \)
       \( 406=409-3 \)
       \( 418=421-3 \)
       \( 430=433-3 \)
       \( 442=439+3 \)
       \( 490=487+3 \)
       \( 550=547+3 \)
       \( 574=571+3 \)
       \( 598=601-3 \)

En cuanto al par 322 tenemos lo siguiente:

        \( Np=27 \)
        \( Pr= 34 \)
        \( Pco=4 \)

Aplicando la formula tenemos.

         \( Ppr=Pr+Pco-Np=34+4-27=11 \)

los pares de primos son los siguientes:

         \( 5+317 \)
         \( 11+311 \)
         \( 29+293 \)
         \( 41+281 \)
         \( 53+269 \)
         \( 59+263 \)
         \( 71+251 \)
         \( 83+239 \)
         \( 89+233 \)
         \( 131+191 \)
         \( 149+173 \)

Gracias por haberlo comprobado con el programa.

Un saludo   

12 Agosto, 2018, 01:24 pm
Respuesta #11

feriva

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Hola feriva, si que hay una diferencia de 1 porque en la formula no tenemos en cuenta el primo 3 luego en la formula, en el caso de que forme par con \( \pm{3} \)  siempre tendrá una unidad menos.



Gracias a ti. No sé si he podido cometer un error al programar; seguiré mirando.

Le he contado esto a un amigo del foro, Sqrmatrix, un verdadero programador que además sabe muchas matemáticas (no un aficionado como yo). Si lo mira y me comenta te cuento; o tú mismo podrías verlo siguiendo este hilo:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=105624.msg416086;topicseen#msg416086

Saludos.

12 Agosto, 2018, 03:11 pm
Respuesta #12

feriva

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Ah, me habías hecho ver magia, pero no hay magia; es más sencillo si lo miras así:

Un número par es 2n; hay una cantidad de números hasta “n”, la mitad, y otra mitad hasta “2n”.

Las parejas posibles tomando números de un lado y otro son del tipo: p+p (primo más primo) c+c (compuestos) ó p+c (ó c+p, es igual para lo que se va a hacer) que es del tipo mixto.

(consideraré el 1 entre los compuestos formando pareja mixta o bien pareja de compuestos a la hora de contar; por comodidad).

Considero los números desde 1 hasta n-1, así que la cantidad en el lado izquierdo es “n-1”; y en el otro considero los números desde “n+1” hasta “2n-1”; y la cantidad de números en ese lado es la misma “n-1”. Por tanto la cantidad de parejas es n-1:

Np=n-1.

(Para que quede claro qué números estoy tomando, no voy a usar “n-1” en las ecuaciones, sólo Np).

La cantidad de parejas de primos (cantidad llamada Ppr) contiene dos primos por cada pareja; y la cantidad de primos que contienen entre todas será entonces: \( 2\cdot Ppr \)

Las parejas mixtas (que tú no consideras y llamaré Pm) entre todas contienen Pm primos; uno por cada una de ellas.

Y las de compuestos, Pco, ningún primo.

La totalidad de parejas es entonces

\( Np=(n-1)=Ppr+Pco+Pm
  \)

La cantidad de primos distintos (incluyendo el 2 -que formará una pareja mixta- y excluyendo “n” si fuera primo) de 1 hasta 2n es

\( Pr=2\cdot Ppr+Pm
  \)

despejamos Ppr

\( \dfrac{Pr-Pm}{2}=Ppr
  \)

y sustituimos en la fórmula anterior

\( Np=\dfrac{Pr-Pm}{2}+Pco+Pm
  \)

Multiplicamos la ecuación por 2 a ambos lados

\( 2Np=Pr-Pm+2Pco+2Pm
  \)

o sea

\( 2Np=Pr+2Pco+Pm
  \)

es decir

\( Pm=2Np-Pr-2Pco
  \)

(estas parejas Pm mixtas (cantidad de ellas) son los que tú no usas, así que voy a sustituir en la primera ecuación por esta última expresión para que desaparezca la variable Pm)

\( Np=Ppr+Pco+(2Np-Pr-2Pco)
  \)

operando

\( Np=Ppr+2Np-Pr-Pco
  \)

Y despejando Ppr

\( -Np+Pr+Pco=Ppr
  \)

O sea, tu fórmula para calcular parejas de primos

\( Ppr=Pr+Pco-Np
  \)

Así que si tomas cualquier par (e incluyes el 2 y el 3 entre los primos, y los de la forma 6x+1y 6x-1) te valdrá igual, sin distinguir formas (o al menos eso me dicen las operaciones algebraicas, si no me he equivocado).

(Vuelvo a recordar que el 1 lo meto entre los no primos, con los compuestos).

Lamentablemente (ya me gustaría equivocarme) de esa fórmula no se pueden sacar conclusiones sobre la cantidad de primos, es obvio que pase eso, no es más que una cuenta; pero no dice nada sobre cuántas parejeas o primos pude haber.

Saludos.

13 Agosto, 2018, 12:54 pm
Respuesta #13

feriva

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Hola, Juan Luis, se me ha ocurrido desarrollar un poco esto.

Me hice un lío con eso de separar compuestos pares e impares, no es necesario; lo del spoiler no vale.

Spoiler

Parto de tu identidad:

\( Ppr=Pr+Pco-Np
  \)

Como tomo los “n-1” números de cada lado, la cantidad de parejas de compuestos formadas por dos pares será

\( \lfloor\dfrac{n-1}{2}\rfloor
  \) (sin parejas de compuestos impares)

Donde esta especie de corchetes indica que tomo la parte entera, ya que, si “n” fuera par hay que quitar la mantisa y quedarse con la parte entera para obtener la cantidad de parejas de pares.

Sin embargo, hay que restar 1 porque la pareja de pares que contiene el 2 es mixta, no es de compuestos. Son entonces

\( \lfloor\dfrac{n-1}{2}\rfloor-1
  \)



Por ejemplo, si tenemos el par 14

\( {\color{blue}0},1,2,3,4,5,6,{\color{blue}7},8,9,10,11,12,13,{\color{blue}14}
  \)

y cuentas los números que hay a cada lado entre los azules verás que son n-1=7-1=6, que es la cantidad de parejas en total (o sea, Np=12). Si tomas sólo las parejas compuestos pares son 6/2=3; éstas

2+12

4+10

6+8

donde hay que quitar la pareja (2,12) por ser primo el 2, no es de compuestos.

Donde digo compuestos, es bueno entender mejor “no primos”, porque llamando así al conjunto cabe el 1, que no es compuesto ni primo.



Entonces, si llamamos por ejemplo k a la cantidad de parejas de dos compuestos impares, tenemos que la cantidad total de parejas de compuestos es

\( Pco=\lfloor\dfrac{n-1}{2}\rfloor-1+k
  \)

Y tomando \( Np=n-1 \), tu identidad queda así:

\( Ppr=Pr+\lfloor\dfrac{n-1}{2}\rfloor+k-1-(n-1)
  \)

O sea:

\( Ppr=Pr+\lfloor\dfrac{n-1}{2}\rfloor+k-n
  \)

Si ahora buscamos el caso crítico, el posible fallo de la conjetura haciendo \( Ppr\approx0
  \), y usamos la función pi para contar los primos escribiendo \( Pr\approx\dfrac{2n}{log(2n)}
  \), al sustituir tenemos:

\( 0\approx\dfrac{2n}{log(2n)}+\lfloor\dfrac{n-1}{2}\rfloor+k-n
  \)

y despejando

\( k\approx n-\dfrac{2n}{log(2n)}-\lfloor\dfrac{n-1}{2}\rfloor
  \)

Esto implica que si no se llegara nunca a esa cantidad de parejas de compuestos impares se cumpliría la conjetura; pues la cantidad de primos real es mayor, no menor.

Y parece también implicar (parece, pero no) que para que la conjetura no se cumpla al 100% seguro, la cantidad de compuestos impares (que es 2k, se ve mejor así que con las parejas;no perdón, en este que sigue hay que considerar las parejas, no los compuestos impares, porque faltan los de las parejas mistas, así que la fórmula es sin multiplicar por 2) tiene que tender a

\( 2n-\dfrac{4n}{log(2n)}-(n-1)
  \) (donde quito lo de la parte entera para tomar la aproximación)

que operando queda

\( n-\dfrac{4n}{log(n)}+1
  \)

\( n(1-\dfrac{4}{log(2n)})+1
  \).

Sin embargo, no es cierto que ocurra tal suceso, porque, la cantidad de primos que nos da la función \( \pi(2n)
  \) es precisamente siempre inferior a la real (también en el “infinito”; y no sólo eso, sino que, cuanto más hacia el infinito, en más cantidad de primos difiere de la cantidad real, más diferencia hay).

Pero además, de hecho, para que exista la posibilidad teórica de que la conjetura se cumpla, basta con que haya un primo en el intervalo (n,2n); porque ese primo siempre es coprimo con 2n y, por tanto, tiene la posiblidad teórica de emparejarse con otro primo del itervalo (0,n) -donde siempre existen primos de forma obvia- y sumar 2n.

Dado que el postulado de Bertrand, que está demostrado, asegura que hay primos en dicho intervalo, la conjetura no es imposible (teóricamente) para ningún número por grande que sea. Y esto no es contradictorio (aunque lo parezca) con que la probabilidad para que se cumpla pueda ser cero; la probabilidad puede ser cero para números muy grandes y cumplirse debido a alguna razón desconocida; razón que haría que ciertos primos “supieran” donde tienen que “colocarse”.

Es decir, para un número grande, la cantidad de compuestos impares, seguramente, puede ser este “límite crítico” \( n(1-\dfrac{4}{log(2n)})+1
  \) (ya programaré a ver) o puede ser mayor quizá y no por ello implica la imposibilidad de que se cumpla la conjetura.

Para que tal expresión marcara la imposibilidad tendríamos que haber operado con la cantidad real de primos; pero nunca se daría la cantidad de compuestos impares según la fórmula, porque negaría el postulado de Bertrand, negaría la existencia de primos en el intervalo (n,2n); y esta afirmación es segura, basada en algo demostrado.



Teníamos

\( Pr=2\cdot Ppr+Pm
  \)

Como hemos hecho \( Ppr=0
  \) entonces la cantidad de compuestos impares que faltan son

\( Pm=Pr
  \) (porque las parejas Pm tienen un primo y un no primo impar salvo la de 2; que ahora se la quito)

por tanto vale la fórmula para lo todo lo dicho si le sumamos Pr-1

\( n-\dfrac{4n}{log(2n)}+1+Pr-1
  \)

y como estamos tomando la aproximación según pi(2n)

\( n-\dfrac{4n}{log(2n)}+\dfrac{2n}{log(2n)}
  \)

o sea

\( CI=n-\dfrac{6n}{log(2n)}
  \) CI= compuestos imapares.

Está sería la cantidad “crítica” de compuestos impares, la otra fórmula no vale.


[cerrar]

La cuestión es ésta

\( Ppr=Pr+Pco-Np
  \)

Haciendo Np=n-1

\( Ppr=Pr+Pco-(n-1)
  \)

La cantidad de primos es

*\( Pr=(2\cdot Ppr+Pm)
  \)

sustituyendo Pr en la primera, entonces

\( Ppr=(2\cdot Ppr+Pm)+Pco-(n-1)
  \)

Despejando Ppr

\( 0=Ppr+Pm+Pco-(n-1)
  \)

Ahora, la cantidad de compuestos total es todos los que hay en \( Pco
  \) más todos los que hay en las parejas mixtas; que son \( 2Pco+Pm
  \)

Si despejamos Pco en la ecuación de antes, tenemos

\( -Ppr-Pm+(n+1)=Pco
  \)

la cantidad tatal de compuestos se queda escrita así entonces

\( 2(-Ppr-Pm+(n+1))+Pm
  \)

o sea

\( -2Ppr-Pm+2(n+1)
  \)

Ahora, si la cantidad de parejas de primos (Ppr) fuera cero, la cantidad de compuestos sería

\( -Pm+2(n+1)
  \)

Como por la igualdad señalada con *, tenemos

\( Pr=(2\cdot Ppr+Pm)
  \)

En caso de Ppr=0 tenemos \( Pr=Pm)
  \), y sustituyendo en lo anterior, la cantidad de compuestos quedaría en

\( -Pr+2(n+1)
  \)

Lógico, pues los 2(n+1) son todos los números considerados, (donde no entran n y 2n). Teniendo en cuenta que el 1 es no primo, pues al restar todos los primos nos quedan los compuestos si metemos el 1 con ellos, como he considerado yo.

Nada que no supiéramos, no veo la forma de encontrar algo con esto; de memento.


Saludos.

18 Agosto, 2018, 11:32 am
Respuesta #14

juan luis

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Hola fariva, despreciando las parejas que se puedan formar con el 2 , el 3 y los múltiplos de 3, con las sucesiones 6x+1  y  6x-1  eliminamos de golpe las parejas formadas por números pares y las parejas que contienen un múltiplo de 3. Estas sucesiones, siguen manteniendo todos los primos  (menos el 2 y  el 3) que están implicados en cada una de las 3 sucesiones de los números pares.

En la sucesión \( 6a+4 \)  solo forman parejas de primos, los primos de la sucesión  \( 6x-1 \)

En la sucesión \( 6a+6 \)  en la columna de la izquierda de la tabla, todos los primos pertenecen a la sucesión \( 6a+1 \) y en la columna de la derecha  todos los primos pertenecen  a la sucesión  \( 6x-1 \)

En la sucesión \( 6a+8 \)  solo forman parejas de primos , los primos de la sucesión  \( 6x+1 \)

Para el par  \( P=6a+4=2n \) despejando  \( a=\displaystyle\frac{n-2}{3} \)  y \( Np=\displaystyle\frac{n-2}{6} \) si n es impar le sumamos 3 al numerador y \( Np=\displaystyle\frac{n+1}{6} \)

Aplicando la ley de los grandes números  tenemos:

(1)      \( Pco=\displaystyle\frac{n-2}{6}-\displaystyle\frac{n}{ln(2n)}+\displaystyle\frac{3n}{ln(2n)*lnn}-\displaystyle\frac{3n}{2(lnn)^2)} \)

De la formula general  \( Ppr=Pr+Pco-Np \)  para que no hayan parejas de primos se tiene que cumplir que:

       \( Pr+Pco-Np=0 \)  despejando  \( Pco \) tenemos:

(2)       \( Pco=Np-Pr=\displaystyle\frac{n-2}{6}-\displaystyle\frac{n}{ln2n} \)  igualando (1) con (2)  tenemos que:

           \( \displaystyle\frac{n-2}{6}-\displaystyle\frac{n}{ln(2n)}=\displaystyle\frac{n-2}{6}-\displaystyle\frac{n}{ln(2n)}+\displaystyle\frac{3n}{ln(2n)*lnn}-\displaystyle\frac{3n}{2(lnn)^2} \)

Para que no tengamos primos tendrá que ser

          \( \displaystyle\frac{3n}{ln(2n)*lnn}-\displaystyle\frac{3n}{2(lnn)^2}=0 \)  sacamos factor común   \( \displaystyle\frac{3n}{lnn} \)

         \( \displaystyle\frac{3n}{lnn}\left\{{\displaystyle\frac{1}{ln2+lnn}-\displaystyle\frac{1}{lnn+lnn}}\right\}=0 \) luego esta claro que:

          \( \displaystyle\frac{1}{ln2+lnn}>\displaystyle\frac{1}{lnn+lnn} \)   para n>2 luego sera \( \neq{0} \) y siempre  \( \geq{1} \)

Para el par  \( P=6a+8=2n \)  despejamos  \( a=\displaystyle\frac{n-4}{3} \)  y  \( Np=\displaystyle\frac{n-4}{6} \)  si n es impar sumamos 3 al numerador yseria  \( Np=\displaystyle\frac{n-1}{6} \)

Para    \( 2n=6a+8 \)  pasa lo mismo que para  \( 2n=6a+4 \)

Para el par  \( P=6a+6=2n \) despejando  \( a=\displaystyle\frac{n-3}{3} \)  y  \( Np=\displaystyle\frac{n-3}{3} \)

En este caso Pco es muy diferente de los dos casos anteriores

(3)          \( Pco=\displaystyle\frac{n-3}{3}-\displaystyle\frac{2(n-3)}{ln(2(n-3))}+\displaystyle\frac{3(n-3)}{(ln(2(n-3)))^2} \)

Para que no hayan primos sera

(4)          \( Pco=Np-Pr=\displaystyle\frac{n-3}{3}-\displaystyle\frac{2(n-3)}{ln(2(n-3))} \)  igualando (3) con (4) resulta que:

               \( \displaystyle\frac{3(n-3)}{(ln(2(n-3)))^2}=0 \)  pero como podemos comprobar  \( 3(n-3)>(ln(2(n-3)))^2 \)

 luego el resultado sera  \( \geq{\geq{1}} \)

 Como vemos no podemos generalizar los números pares  porque el comportamiento de los pares  múltiplos de tres, es muy diferente del comportamiento  de los que no lo son.
 
      gracias y un saludo
     

18 Agosto, 2018, 04:10 pm
Respuesta #15

feriva

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Hola, Juan Luis.

 A ver si lo miro más en estos días y hago pruebas haciendo algún programa; aunque así de primeras sigo sin ver seguro lo de la ley de los grandes números. En cualquier caso, mi opinión no vale para dar por aceptado nada (te diga que sí o que no). Tendría que pasar por aquí un matemático y juzgarlo con el debido rigor.

Citar
Como vemos no podemos generalizar los números pares  porque el comportamiento de los pares  múltiplos de tres, es muy diferente del comportamiento  de los que no lo son.

Con esto, ¿quieres decir que tu trabajo propone una demostración para todos los pares que no son múltiplos de 3? Es por confirmar si lo estoy entendiendo bien.


Gracias, saludos.

21 Agosto, 2018, 08:56 pm
Respuesta #16

juan luis

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Hola Feriva, en este estudio trato de demostrar que la conjetura es cierta para las  tres sucesiones de números pares. En la respuesta anterior no pongo la demostración de  \( 6a+8 \)  porque es similar a  \( 6a+4 \)  pero si que pongo la demostración de  \( 6a+6 \) ( que es la sucesión de todos los números pares que son múltiplos de 3 ) .

Seguidamente te mando un PDF donde hago un símil de la formación de parejas de primos en las tres clases de números pares ( donde se ve que la formación de parejas de primos es muy diferente en los pares múltiplos de 3) .

Un saludo 

22 Agosto, 2018, 10:56 pm
Respuesta #17

feriva

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Hola Feriva, en este estudio trato de demostrar que la conjetura es cierta para las  tres sucesiones de números pares. En la respuesta anterior no pongo la demostración de  \( 6a+8 \)  porque es similar a  \( 6a+4 \)  pero si que pongo la demostración de  \( 6a+6 \) ( que es la sucesión de todos los números pares que son múltiplos de 3 ) .

Seguidamente te mando un PDF donde hago un símil de la formación de parejas de primos en las tres clases de números pares ( donde se ve que la formación de parejas de primos es muy diferente en los pares múltiplos de 3) .

Un saludo 

Muchas gracias, Juan Luis.

Si se trata entonces de propuesta de demostración ya sí que lo tiene que mirar un matemático, no es lo mismo que decir un trabajo donde se analizan u observan cosas. Esperemos que alguno se interese.

Un Saludo.

23 Agosto, 2018, 08:07 pm
Respuesta #18

juan luis

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Hola Feriva, gracias por haberme dado tu opinión sobre mi estudio sobre la conjetura, me apasiona poder debatir sobre esta conjetura.

Gracias, un saludo