El siguiente PDF Estudio sobre la conjetura de Goldbach (3)
Hola, Juan Luis. Yo también soy aficionado a la conjetura desde hace muchos años.
El trabajo es muy largo y, de momento, sólo he hojeado ahora mismo los PDF muy por encima; así que puede ser que lo que voy a decir no influya en tus conclusiones.
Hablas de probabilidad, de la probabilidad de los grandes números, de frecuencias...
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Ocurre algo muy curioso en cuanto a la probabilidad en esta conjetura, no sé si lo tienes en cuenta.
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Veámoslo de esta manera con un par cualquiera como puede ser 26; tenemos dos “bolsas” con bolas a sacar:
\( {\color{blue}0},1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,{\color{blue}13},14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,{\color{blue}26}
\)
Estas bolsas son las que están entre los números azules y contiene los números negros.
Están separadas por \( \dfrac{2n}{2}=13
\) (una a un lado y otra al otro). Esto es la mitad del par, el valor de “n”, que en este caso es primo y con eso basta para que se cumpla: 13+13=26 (pero pensemos que no es así, que no tomamos estos casos).
También desecharemos los números de los extremos 0 y 26 (0+26=26) y también los siguientes a estos extremos: 1 y 25 (1+25=26) porque el 1 no es primo ni compuesto.
Si seguimos con esta idea tenemos a continuación 2 y 24 (2+24=26) y así desde los extremos hacia al centro obtenemos todas las sumas posibles de dos números tales que dan 26.
Pero ahora también podríamos deshacernos de los pares y de todos los números que tuvieran algún factor común con 26 (con 2n, en general, el par que sea); en este caso sólo son los pares y el 13, que ya lo hemos descartado.
La razon de desechar los números que tienen algún factor primo en común con 2n es muy sencilla; nunca van a formar pareja de dos primos tal que su suma sea 2n; eso sólo puede llegar a ocurrir (a veces, como en este ejemplo) con ”n”, con el del centro (supongo que lo sabrás, pero, si no fuera así, si lo analizas tú mismo verás por qué ocurre).
Una vez filtrados esos números, las dos “bolsas”, o “bombos de lotería” que consideramos, quedan así:
\( 3,5,7,9,11,{\color{blue}\, C},\,,15,17,19,21,23
\) C es el centro.
Ahí están todas las sumas de primos posibles: 3+23 y 7+19 (quitando, 13+13, con el del centro).
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En el bombo de la izquierda hay 4 primos y 1 compuesto; en el de la derecha, 3 primos y 2 compuestos.
Supongamos que desordenamos los números de cada lado (pero sin cambiarlos de “bombo”) y sacamos una bola de cada bombo; los emparejamos y repetimos esto hasta que se acaben los números.
Es seguro que habrá al menos una pareja de primos. Esto es debido a que, por caso, si hay 4 primos en el bombo de la izquierda, para que emparejaran todos con compuestos, tendría que haber al menos cuatro compuestos en el de la derecha; pero sólo hay dos, luego es imposible. También es imposible mirándolo desde el otro bombo, hay más primos que compuestos en el bombo de enfrente. Así, en este caso la probabilidad es 1, habrá seguro una pareja de primos.
Para bastantes 2n, para los pares consecutivos en cuestión, va a ocurrir esto (filtrando los números dichos).
Pero a partir de n=212, es decir, en el par 424, esto ya no ocurre, los primos decrecen en ambos bombos respecto de los compuestos del otro; y ya la probabilidad no es 1.
No obstante, si hallamos la razón entre los primos del lado derecho y los compuestos del izquierdo; y viceversa, la proporción nos dice que están en una cantidad muy parecida; éstas son las razones;
0.998423955871 y 0.998040176384; casi 1, casi las mismas cantidades.
Sin embargo, si tomamos el par 200002, las proporciones se van acercando más a cero; son:
0.279308536976 y 0.253263116597 (en los respectivos lados)
lo que significa que la cantidad de compuestos en ambos bombos supera en mucho a la de primos.
Si seguimos buscando pares más grandes, eso sigue así, la densidad de primos baja en ambos lados cada vez más hasta que la probabilidad de que se cumpla la conjetura es prácticamente cero.
Pero, nadie sabe por qué, como la trucha que trepa sobre el agua contra la corriente, lejos de no surgir más parejas, éstas aumentan en cantidad; es decir, la conjetura se cumple a contrapelo de la probabilidad, cuanto más baja, más parejas de primos que suman el par (no aumentan de forma monótona, pero van aumentando por tramos, digamos “proporcionalmente”).
Si vamos tomando números y números, aunque esto sea muy difícil, la probabilidad de los grandes números nos dice que tomar muchos casos, hacer el experimento muchas veces, aumenta la probabilidad de que pueda ocurrir; pero es que basta que falle en un número para que no se cumpla, tiene que ocurrir siempre, en todos. Por eso yo no sé... eso de la ley de los grandes números.
Piensa en dos botes, uno con 115 judías y 5 garbanzos; otro con 117 judías y 3 garbanzos. Los removemos y vamos sacando parejas; ¿casarán con facilidad dos garbanzos? Evidentemente no, habría que repetirlo muchísimas veces; pero con esos botes no vale repetir, sólo se puede hacer una vez, porque esos dos botes es sólo un número.
No obstante, repito, hablas de muchas más cosas relacionadas y lo he mirado (con mis maltrechos ojos) más que a vista de pájaro; así que no digo que no, simplemente es que soy muy aficionado a esta conjetura.
Gracias por compartirlo.
Saludos.
