Autor Tema: Demostrar igualdad para la adjunción de campos

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30 Julio, 2018, 04:21 pm
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¡Hola!  Estoy tratando de resolver el ejercicio siguiente:
Sean F, L, M, K y E todos subcampos de algún campo, tales que \( F\subset{L} \subset{M}\subset{K} \) y E extensión Galois finita de F.  Suponga que EL= K demostrar que \( M=L \left(E\cap{M}\right) \).

En mi notación EL es el campo compuesto de E y L, mientras que \( L \left(E\cap{M}\right) \) representa la adjunción de \(  E\cap{M} \) a M.
Spoiler
Ya he probado una inclusión;  pero no logro demostrar que
 \( M\subseteq{}L \left(E\cap{M}\right) \)
El avance que llevo en cuanto esta es:
A consecuencia de que E/F es extensión Galois finita, en particular \( E=F\left(a_1,\cdots ,a_m \right) \) y usando la hipótesis de que K=EL he deducido que K/L es extensión de Galois

Entonces por un lado se cumple que \( L \left(E\cap{M}\right)= 
  L\left ( F\left(a_1,\cdots ,a_m \right)\cap{M}\right ) \)
Mientras que por otra parte  observo que \( LF\left(a_1,\cdots ,a_m \right)=
L\left(a_1,\cdots ,a_m \right)=K\supset{M}
 \)

Así que pensaba que tal vez haya una manera de relacionar las expresiones anteriores mediante alguna igualdad pues es lo que me gustaría para poder concluir lo deseado; pero no he logrado justificarlo (si es que fuera así un camino correcto) ¿Me podrían apoyar con esta parte por favor?
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