Autor Tema: Potencias y raíces de la unidad imaginaria

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28 Julio, 2018, 05:42 am
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rojamer

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Potencias de la unidad imaginaria
Sea \( n\in{\mathbb{Z^{+}}}\cup{\left\{0\right\}}.  \)Entonces,
\( i^n=(-1)^{v_n}\left((1-u_n)+u_ni\right) \)
, donde,
\( u_n=\displaystyle\frac{1-(-1)^n}{2}, \)  \( v_n=\displaystyle\frac{n-u_n}{2} \)

Raíces de la unidad imaginaria
Si \( n\in{\mathbb{Z^{+}}} \) y \( (a+bi)^{n}=i, \) con \( a,b\in{\mathbb{R}}, \) entonces:

\( \begin{cases}\displaystyle\sum_{k=0}^{v_n}{(-1)^k\displaystyle\binom{n}{2k}a^{n-2k}b^{2k}}=0\\\displaystyle\sum_{k=0}^{v_{n-1}}{(-1)^k\displaystyle\binom{n}{2k+1}a^{n-(2k+1)}b^{2k+1}}=1\end{cases} \)

Es decir:

  • \( b\neq{0}. \)
  • Si \( a\neq{0,} \) entonces:
    \( a^{n}=\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\sum_{k=0}^{v_{n-1}}{(-1)^k\displaystyle\binom{n}{2k+1}\left(\displaystyle\frac{b}{a}\right)^{2k+1}}} \)
    , donde,
    \( \displaystyle\sum_{k=0}^{v_n}{(-1)^k\displaystyle\binom{n}{2k}\left(\displaystyle\frac{b}{a}\right)^{2k}}=0 \)
    , o, \( a=0, \) si y sólo si \( n \) es impar y \( b=(-1)^{(n-1)/2}. \)

Por otro lado, para \( x\in{\mathbb{R}}, \)
\( \frac{d^{n}cosx}{dx}=(-1)^{v_n}\left((1-u_n)cosx-u_{n}sinx\right) \)

\( \frac{d^{n}sinx}{dx}=(-1)^{v_n}\left(u_{n}cosx+(1-u_n)sinx\right) \)

Ahora, haciendo uso de los polinomios de Taylor centrados en cero, se obtiene:

\( cosx=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}{(-1)^{v_n}(1-u_n)\displaystyle\frac{x^n}{n!}}, \)    \( sinx=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}{(-1)^{v_n}u_n\displaystyle\frac{x^n}{n!}} \)
Luego,
\( cosx+isinx=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}{i^n\displaystyle\frac{x^n}{n!}}=e^{xi} \)
Ahora,
\( (e^{xi})^n=(cosx+isinx)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}{\displaystyle\binom{n}{k}(cosx)^{n-k}(isinx)^k} \)
Finalmente,
\( e^{(nx)i}=cosnx+isinnx \)
donde,
\( cos nx=\displaystyle\sum_{k=0}^{v_n}{\left(\displaystyle\sum_{p=k}^{v_n}{\displaystyle\binom{n}{2p}\displaystyle\binom{p}{k}}\right)}(-1)^k(cosx)^{n-2k} \)

\( sin (2n+1)x=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}{\left(\displaystyle\sum_{p=0}^{k}{\displaystyle\binom{2n+1}{2p+1}\displaystyle\binom{n-p}{n-k}}\right)}(-1)^k(sinx)^{2k+1} \)