[manooooh]

Hola! Disculpen si este tema ya se creó o si debería ir en otra sección pero no encontré nada al respecto.

Supongamos que queremos hallar el valor de \( x \) (en los reales) de la siguiente ecuación:

\( x^2\quad=\quad 4\tag 1. \)

Como cualquier hijo de vecino uno saca raíces cuadradas miembro a miembro y concluye que las soluciones son \( \{2,-2\} \). ¿Por qué pudimos averiguar los valores? En primer lugar porque si reemplazamos en la ecuación original cumple la igualdad, y en segundo lugar porque se trata de una de las operaciones fundamentales del Álgebra que se aplican siempre y cuando tengan "sentido" aplicarse (trabajando en los reales uno sabe de antemano que \( x^2=-1 \) no tiene soluciones con ninguna operación).

Ahora bien... ¿y si intentamos derivar miembro a miembro a \( (1) \) con respecto a \( x \)? (digo miembro a miembro para mantener la supuesta igualdad):

\( 2x\quad=\quad0\quad\Rightarrow\quad x\quad=\quad0. \)

Vemos que nos queda una ecuación de grado \( 1 \); a esto quería llegar yo porque el enunciado pide hallar \( x \), no \( x^2 \), entonces apliqué la derivada para bajar de grado el polinomio y pasé el \( 2 \) dividiendo al otro lado. Parece un movimiento válido... pero vemos que claramente al reemplazar esta solución en \( (1) \) queda un absurdo \( 0=4 \), y ni siquiera se puede "salvar" realizando la operación inversa, esto es integrando esta última expresión absurda.


Sin embargo, existen casos donde sí es indispensable derivar para hallar un valor (sea una variable o una función). Por ejemplo cito 2:

• Hallar un número real \( a \) y una función \( f \) que cumpla \( 6+\int_{a}^{x}\frac{f(t)}{t^2}\:\mathrm{d}t=2\sqrt{x} \) con \( x>0 \);
• Las EDOs (o sus contrarias, las ecuaciones integrales).

Es decir ante ciertas ecuaciones nos conviene, o mejor dicho debemos derivar la ecuación para poder hallar la solución.

¿Acaso es porque la derivación no sirve para solucionar ecuaciones donde intervengan operaciones fundamentales (donde haya raíces cuadradas por ejemplo)?

Si la respuesta es un "sí" naturalmente se me viene otra a la mente: ¿por qué no consideramos a la derivada (y su inversa, la integral) como operación fundamental ante ciertas ecuaciones?

Es decir, si queremos hallar \( f(x) \) tanto en

\( f(x)+2\quad=\quad0 \)

como en

\( 6+\displaystyle\int_{9}^{x}\frac{f(t)}{t^2}\:\mathrm{d}t\quad=\quad2\sqrt{x} \)

las operaciones que se utilizan (resta en la primera y derivada en la segunda) están en "el mismo nivel"; tienen el mismo grado de importancia y por tanto ambas operaciones son fundamentales creo yo.


Peeero de la ecuación

\( x^2\quad=\quad 4\tag 1 \)

¿por qué la técnica de bajar un grado el polinomio (o sea derivar, pasar de cuadrática a lineal) no es válida, si sabemos que, ante ciertas ecuaciones, derivar miembro a miembro la igualdad se mantiene (como sumar miembro a miembro)? ¿Qué condiciones me estoy olvidando?

Gracias!
Saludos

[feriva]

Hola, Manooooh.

Es un poco subjetivo, yo creo. La gente “antigua”, hablaba de las “cuatro reglas” refiriéndose a las cuatro operaciones básicas: suma, resta, multiplicación y división. Cuando alguien sabía muy poco se le decía eso, “no sabes ni las cuatro reglas”, que equivale a “no sabes hacer la “o” con un canuto”. 

La potenciación, básicamente, es una multiplicación con la particularidad de que se multiplica el mismo número; la raíz cuadrada, y las otras, son potencias también. Así, en principio, quizá las podemos dejar en cuatro reglas.

En cuanto nos metemos a considerar los distintos conjuntos de números es cuando aparecen matices y complicaciones, pero si hacemos caso omiso (o, en su defecto, no hacemos ni puñetero caso) de dar valor numérico a las letras, quedándanos únicamente con las expresiones simplificadas a las que llegamos después de operar, desaparecen las soluciones múltiples y todas esas cosas.

Así, desde mi punto de vista personal, esto es puramente algebraico: \( a^b \); en cambio, aquí, \( a^{\frac{1}{2}}  \), si buscamos solución o soluciones, vamos más allá de lo algebraico, nos metemos, como poco, en la parcela de la aritmética.

En álgebra, \( \dfrac{x}{x} \) es siempre el neutro, el “uno”; pero si pensamos, por ejemplo, en el “valor” entero cero  para “x”, puede valer cualquier cosa. Al pensar en números nos salimos de lo estrictamente algebraico. Así es como lo veo yo, personalmente.

De manera parecida, cuando en lo aritmético, al dar valores reales a las letras, aparece algo así \( a+b=a \) y \( \dfrac {b}{c}\neq 0 \), nos salimos de lo puramente aritmético para ya meternos en lo analítico. Pero una vez más la culpa la tienen los números, porque ahí vemos la necesidad de considerar unos números nuevos para justificar eso, para que el álgebra pura, con letras, no sea contradictoria; de hecho, eso, aunque sean letras, para mí ya no es álgebra, en álgebra sólo puede pasar \( a+b=a \) entonces \( b=0 \) y \( \dfrac {b}{c}= 0 \). Porque en el momento que un señor que es el neutro, de repente y en el curso de unas operaciones, debido a que toma un valor extraño, se convierte en no neutro o en no se sabe qué, hay que apartarlo de la sociedad  (de la sociedad algebraica) y considerar otra cosa.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

¿por qué la técnica de bajar un grado el polinomio (o sea derivar, pasar de cuadrática a lineal) no es válida, si sabemos que, ante ciertas ecuaciones, derivar miembro a miembro la igualdad se mantiene (como sumar miembro a miembro)? ¿Qué condiciones me estoy olvidando?

Estás haciendo analogías entre problemas diferentes.

1) Una cosa es hallar un \( x_0 \) verificando que \( f(x_0)=g(x_0). \) NO es cierto que eso equivalga a que \( f'(x_0)=g'(x_0). \) Formalmente está claro que no es cierto porque tu mismo pones un ejemplo en tu primera ecuación:

\( x^2=4 \) se cumple en \( x_0=2 \) ó \( x_0=-2 \).

pero:

\( 2x=0 \) NO se anula en \( x_0=2 \) ni en \( x_0=-2 \).

2) Cosas distinta es tener que:

\( f(x)=g(x) \) PARA TODO \( x\in \mathbb{R} \)

y entonces con todo derecho y obviamente de ahí se deduce que:

\( f'(x)=g'(x) \) PARA TODO \( x\in \mathbb{R} \)

Eso es lo que se usa en la resolución del problema relativo a esta igualdad.

\( 6+\displaystyle\int_{a}^{x}\frac{f(t)}{t^2}\:\mathrm{d}t\quad=\quad2\sqrt{x} \)

Entonces son problemas de naturaleza completamente diferente; y la diferencia no tiene nada que ver con el hecho de que en uno u otro aparezcan operaciones más o menos complicadas.

Saludos.

[manooooh]

Hola a ambos


feriva:

Es un poco subjetivo, yo creo. La gente “antigua”, hablaba de las “cuatro reglas” refiriéndose a las cuatro operaciones básicas: suma, resta, multiplicación y división. Cuando alguien sabía muy poco se le decía eso, “no sabes ni las cuatro reglas”, que equivale a “no sabes hacer la “o” con un canuto”. 

La potenciación, básicamente, es una multiplicación con la particularidad de que se multiplica el mismo número; la raíz cuadrada, y las otras, son potencias también. Así, en principio, quizá las podemos dejar en cuatro reglas.

Entiendo que cuando te referís a "subjetivo" estás hablando de considerar a la potenciación y radicación como casos particulares de la multiplicación. Si es así estoy de acuerdo con vos, iba a poner el link de la Wikipedia donde están las 4 pero recuerdo que en la secundaria me habían dicho que eran 6 y no 4 (ahora que lo pienso me estaría faltando el logaritmo si vamos a lo particular, así que sí, son 4). Sin embargo, si nos ponemos a pensar la multiplicación es sumar tantas veces como lo diga ...

En cuanto nos metemos a considerar los distintos conjuntos de números es cuando aparecen matices y complicaciones, pero si hacemos caso omiso (o, en su defecto, no hacemos ni puñetero caso) de dar valor numérico a las letras, quedándanos únicamente con las expresiones simplificadas a las que llegamos después de operar, desaparecen las soluciones múltiples y todas esas cosas.

Así, desde mi punto de vista personal, esto es puramente algebraico: \( a^b \); en cambio, aquí, \( a^{\frac{1}{2}}  \), si buscamos solución o soluciones, vamos más allá de lo algebraico, nos metemos, como poco, en la parcela de la aritmética.

En álgebra, \( \dfrac{x}{x} \) es siempre el neutro, el “uno”; pero si pensamos, por ejemplo, en el “valor” entero cero  para “x”, puede valer cualquier cosa. Al pensar en números nos salimos de lo estrictamente algebraico. Así es como lo veo yo, personalmente.

Creo que te entiendo. Corregime, pero me parece que cuando decís

Así, desde mi punto de vista personal, esto es puramente algebraico: \( a^b \); en cambio, aquí, \( a^{\frac{1}{2}}  \), si buscamos solución o soluciones, vamos más allá de lo algebraico, nos metemos, como poco, en la parcela de la aritmética.

estás hablando de infinitos . O sea, nosotros somos los que ponemos las reglas; las matemáticas se CREAN, NO se descubren. Yo creo que al establecer cualquier conjunto infinito potencialmente se encuentran soluciones. Cuando buscamos un valor dentro de ese conjunto infinito pasamos a comprobar en acto si ese valor verifica o no.

Así, no es lo mismo resolver la ecuación en \( \mathbb N \) de \( x^2=4 \) que en \( \mathbb R \), ¿verdad?

En cuanto a la frase que te cité anteriormente, no estoy muy de acuerdo.

Si queremos resolver en \( \mathbb R \) la ecuación \( x^2=a \), con \( a\in\mathbb R \), las operaciones fundamentales y nuestro ingenio nos conducen a que para hallar la \( x \) debemos usar raíces; de esta manera el conjunto solución es \( \{\pm\sqrt a\}\subseteq\mathbb R \).

PERO al pasar a casos particulares (dando valores específicos a \( a \)) ¡es muy sencillo si la ecuación "genérica" ya está resuelta!

O sea, me refiero a que en la primera parte hemos utilizado álgebra y en lo particular hemos tomado "prestado" un elemento de \( \mathbb R \) (que es el conjunto en el que se estableció encontrar soluciones). Está claro que hay situaciones donde ciertas ecuaciones NO se pueden resolver en forma general salvo casos particulares, pero ni siquiera estaríamos utilizando tampoco aritmética, pienso yo.

De manera parecida, cuando en lo aritmético, al dar valores reales a las letras, aparece algo así \( a+b=a \) y \( \dfrac {b}{c}\neq 0 \), nos salimos de lo puramente aritmético para ya meternos en lo analítico. Pero una vez más la culpa la tienen los números, porque ahí vemos la necesidad de considerar unos números nuevos para justificar eso, para que el álgebra pura, con letras, no sea contradictoria; de hecho, eso, aunque sean letras, para mí ya no es álgebra, en álgebra sólo puede pasar \( a+b=a \) entonces \( b=0 \) y \( \dfrac {b}{c}= 0 \). Porque en el momento que un señor que es el neutro, de repente y en el curso de unas operaciones, debido a que toma un valor extraño, se convierte en no neutro o en no se sabe qué, hay que apartarlo de la sociedad  (de la sociedad algebraica) y considerar otra cosa.

Me perdí . ¿De dónde sale el \( c \) en \( \frac bc \)? Tampoco entendí por qué el neutro es \( \frac xx \) si eso se puede simplificar y dar \( 1 \). ¿Podrías detallarme qué quisiste decir en este último párrafo, por favor?


De todas maneras, me cuesta enlazar la subjetividad de la que hablamos con la derivada (*)... .


Luis:

Estás haciendo analogías entre problemas diferentes.

1) Una cosa es hallar un \( x_0 \) verificando que \( f(x_0)=g(x_0). \) NO es cierto que eso equivalga a que \( f'(x_0)=g'(x_0). \) Formalmente está claro que no es cierto porque tu mismo pones un ejemplo en tu primera ecuación:

\( x^2=4 \) se cumple en \( x_0=2 \) ó \( x_0=-2 \).

pero:

\( 2x=0 \) NO se anula en \( x_0=2 \) ni en \( x_0=-2 \).

2) Cosas distinta es tener que:

\( f(x)=g(x) \) PARA TODO \( x\in \mathbb{R} \)

y entonces con todo derecho y obviamente de ahí se deduce que:

\( f'(x)=g'(x) \) PARA TODO \( x\in \mathbb{R} \)

Eso es lo que se usa en la resolución del problema relativo a esta igualdad.

\( 6+\displaystyle\int_{a}^{x}\frac{f(t)}{t^2}\:\mathrm{d}t\quad=\quad2\sqrt{x} \)

Entonces son problemas de naturaleza completamente diferente; y la diferencia no tiene nada que ver con el hecho de que en uno u otro aparezcan operaciones más o menos complicadas.

¿Es decir que la derivada (*) se aplica a funciones y las operaciones fundamentales a variables?

(*): ahora que lo pienso el título y todas las veces donde aparece "derivada" yo debería haber puesto "derivación"; es como decir "el más entre dos números" y no "la suma"... ¿verdad?

Spoiler

En la cocina pensando qué responderles

[cerrar]

Saludos

[feriva]

Hola, Manoooh.

Me explico un poco más (aprovechando que eres el único que aguanta mis rollos )

Entiendo que las expresiones algebraicas puras (puras muy puras) no tienen por qué contener más que letras y, si acaso, los números 1 y 0, los neutros. Claro que esto no nos será suficiente y entonces tendremos que echar mano de cuenstiones ariméticas y otras cosas; la cosa es, según nuestro criterio (el de cada uno) hasta dónde queremos ser puristas.

Tu nos traías la igualdad \( x^2=4 \); entonces yo digo, ésa no es una expresión algebraica guay del Paraguay del todo, porque aparecen un 4 y un 2; y lo traduzco a lo que yo sí llamaría álgebra pura (o más pura):

\( x^{b}=a
  \)

Y despejo “x” así

\( x^{b}x^{-(b-1)}=ax^{-(b-1)}
  \)

\( x^{b+(-(b-1))}=ax^{-(b-1)}
  \)

\( x^{1}=ax^{-(b-1)}
  \)

Hasta ahí. Y ahora después, al dar valores, se añaden números; en tu caso, a=4 y b=2, con lo que empezamos ya a “manchar” un poco el álgebra de arimética

\( x^{1}=4x^{-(2-1)}
  \)

\( x^{1}=4x^{-1}
  \)

\( x^{1}x^{1}=4x^{-1}x^{1}
  \)

\( x^{(1+1)}=4x^{0}
  \)

\( x^{2}=4\cdot1=4
  \)

Y en cuanto a la derivada, si lo piensas detenidamente, tiene reglas que no son “poco algebraicas”. Ocurre, por ejemplo, que la dervida de una suma es la suma de las derivadas de los sumandos; tenías:

\( x^{2}=4
  \)

\( x^{2}-4=0
  \)

Entonces, como la derivada de una constante es cero, puedes igualar

\( \dfrac{d(x^{2})}{dx}=\dfrac{d(x^{2}-4)}{dx}
  \)

Eso es lo que puedes hacer “algebraicamente”, pero se llega a una identidad que no sirve para nada.

Además, aquí están participando las variables diferenciales, no la variable “x”, que aparece después. Así que eso no lo podríamos hacer con una variable algebraica normal, pues esto

\( x^{2}=x^{2}-4
  \)

no es verdad.

De manera parecida, cuando en lo aritmético, al dar valores reales a las letras, aparece algo así \( a+b=a \) y \( \dfrac {b}{c}\neq 0 \), nos salimos de lo puramente aritmético para ya meternos en lo analítico. Pero una vez más la culpa la tienen los números, porque ahí vemos la necesidad de considerar unos números nuevos para justificar eso, para que el álgebra pura, con letras, no sea contradictoria; de hecho, eso, aunque sean letras, para mí ya no es álgebra, en álgebra sólo puede pasar \( a+b=a \) entonces \( b=0 \) y \( \dfrac {b}{c}= 0 \). Porque en el momento que un señor que es el neutro, de repente y en el curso de unas operaciones, debido a que toma un valor extraño, se convierte en no neutro o en no se sabe qué, hay que apartarlo de la sociedad  (de la sociedad algebraica) y considerar otra cosa.

Me perdí . ¿De dónde sale el \( c \) en \( \frac bc \)? Tampoco entendí por qué el neutro es \( \frac xx \) si eso se puede simplificar y dar \( 1 \). ¿Podrías detallarme qué quisiste decir en este último párrafo, por favor?

Donde digo “1” pon “neutro”, que sea 1 ó lo que quiera; es decir, tenemos que es “x” por su inversa, que da el neutro multiplicativo, simplemente eso. Pero esto, mientras "x" no sea el otro neutro, el de la suma, porque, si no, podemos tener \( \dfrac{0}{0}
  \); que no es muy “algebraico”.

La letra “c” es algo que hace que \( \dfrac{b}{c}
  \) no sea cero; puede ser 7, 22... cualquier número; pero sin dejar de tener que \( a+b=a
  \). Sin ir más lejos, pongo un ejemplo tomando algo de tu ecuación \( b=d(x^{2})
  \); tendremos \( a+b=a \), pues es un valor infinitesimal.

Si ahora hacemos \( c=dx
  \), entonces \( \dfrac{b}{c}=2x
  \), y como x era 2, \( \dfrac{b}{c}=4\neq0
  \).

Es decir, al elemento neutro de la suma habitual, al cero, le aparecen extraños compañeros de cama que difuminan su unicidad (aunque en teoría no lo hagan, porque no son reales) y, con ello, se difumina también lo que entendemos por “álgebra” para dar paso al cáclulo o análisis.

Pero con esto no estoy pretendiendo fijar una frontera entre una cosa y otra (¡quién soy para hacer algo así!) simplemente es como yo lo veo (y ten en cuenta que veo menos que un galápago en lejía    ).

Spoiler

Que meriendes bien

[cerrar]

Saludos

[manooooh]

Hola

Me explico un poco más (aprovechando que eres el único que aguanta mis rollos )

Explayate todo lo que quieras, aquí estaré leyendo (lo que me interese y pueda entender algo, claro )

Tu nos traías la igualdad \( x^2=4 \); entonces yo digo, ésa no es una expresión algebraica guay del Paraguay del todo, porque aparecen un 4 y un 2; y lo traduzco a lo que yo sí llamaría álgebra pura (o más pura):

\( x^{b}=a
  \)

Y despejo “x” así

\( x^{b}x^{-(b-1)}=ax^{-(b-1)}
  \)

\( x^{b+(-(b-1))}=ax^{-(b-1)}
  \)

\( x^{1}=ax^{-(b-1)}
  \)

Hasta ahí.

Pero hasta ahí no despejaste la variable, ¡la escribiste en ambos miembros!

Y en cuanto a la derivada, si lo piensas detenidamente, tiene reglas que no son “poco algebraicas”. Ocurre, por ejemplo, que la dervida de una suma es la suma de las derivadas de los sumandos; tenías:

\( x^{2}=4
  \)

\( x^{2}-4=0
  \)

Entonces, como la derivada de una constante es cero, puedes igualar

\( \dfrac{d(x^{2})}{dx}=\dfrac{d(x^{2}-4)}{dx}
  \)

Eso es lo que puedes hacer “algebraicamente”, pero se llega a una identidad que no sirve para nada.

¡Exacto!, es a lo que me refiero. Es por eso que me gustaría saber cuándo conviene y cuándo no derivar una igualdad, puesto que a veces no sirve para nada y otras sí.

Donde digo “1” pon “neutro”, que sea 1 ó lo que quiera; es decir, tenemos que es “x” por su inversa, que da el neutro multiplicativo, simplemente eso. Pero esto, mientras "x" no sea el otro neutro, el de la suma, porque, si no, podemos tener \( \dfrac{0}{0}
  \); que no es muy “algebraico”.

La letra “c” es algo que hace que \( \dfrac{b}{c}
  \) no sea cero; puede ser 7, 22... cualquier número; pero sin dejar de tener que \( a+b=a
  \). Sin ir más lejos, pongo un ejemplo tomando algo de tu ecuación \( b=d(x^{2})
  \); tendremos \( a+b=a \), pues es un valor infinitesimal.

Si ahora hacemos \( c=dx
  \), entonces \( \dfrac{b}{c}=2x
  \), y como x era 2, \( \dfrac{b}{c}=4\neq0
  \).

Es decir, al elemento neutro de la suma habitual, al cero, le aparecen extraños compañeros de cama que difuminan su unicidad (aunque en teoría no lo hagan, porque no son reales) y, con ello, se difumina también lo que entendemos por “álgebra” para dar paso al cáclulo o análisis.

Pero con esto no estoy pretendiendo fijar una frontera entre una cosa y otra (¡quién soy para hacer algo así!) simplemente es como yo lo veo (y ten en cuenta que veo menos que un galápago en lejía    ).

Jajaja! Creo entender lo que decís pero no sé qué tiene que ver con el tema principal

Spoiler

Que meriendes bien

[cerrar]

Spoiler

¡¡Era el almuerzo!! Los bastones de muzzarella duraron poco . Gracias

[cerrar]

Saludos

[feriva]

Pero hasta ahí no despejaste la variable, ¡la escribiste en ambos miembros!

Claro, en plan “pura álgebra” no puedo llegar más que hasta ahí, dejo la x en un lado con la potencia 1. Por eso te decía que después necesitaremos “manchar” con aritmética si queremos eso para algo; ahora bien, si no queremos saber cuánto vale (lo cual es una cuestión aritmética) qué más da; mira, gracias a esto que me dices me has hecho encontrar la síntesis de lo que quería decir: “El álgebra es operar sin importarnos cuánto valen las cosas” (no pasará a la historia de las frases famosas porque la he dicho yo, pero si la hubiera dicho Fermat o uno de ésos... )

¡Exacto!, es a lo que me refiero. Es por eso que me gustaría saber cuándo conviene y cuándo no derivar una igualdad, puesto que a veces no sirve para nada y otras sí.

Eso dependerá de lo que quieras conseguir con la ecuación. Normalmente te encontrarás las igualdades dentro de un contexto, de un enunciado dado o bien a partir de algo que te plantees tú mismo; como le pasó a Newton, por ejemplo, se vio en la necesidad de considerar tiempos y desplazamientos muy pequeños a partir de sus razonamientos sobre el movimiento de los cuerpos celestes y cosas así. En principio una misma ecuación puede ser varias cosas según se considere: puede ser diofántica... elefántica si es muy grande

Jajaja! Creo entender lo que decís pero no sé qué tiene que ver con el tema principal

No, sólo era mi punto de vista, un poco adornado, de por qué la derivada no es una operación fundamental del álgebra; te lo resumo de mejor manera: los fundamentos del álgebra no conocieron la derivada, cuando se inventaron, no había nacido ni ella ni esos números tan chiquititos


Saludos.

[manooooh]

Hola

Claro, en plan “pura álgebra” no puedo llegar más que hasta ahí, dejo la x en un lado con la potencia 1. Por eso te decía que después necesitaremos “manchar” con aritmética si queremos eso para algo; ahora bien, si no queremos saber cuánto vale (lo cual es una cuestión aritmética) qué más da; mira, gracias a esto que me dices me has hecho encontrar la síntesis de lo que quería decir: “El álgebra es operar sin importarnos cuánto valen las cosas” (no pasará a la historia de las frases famosas porque la he dicho yo, pero si la hubiera dicho Fermat o uno de ésos... )

Frase concisa y al grano ...

Sin embargo sigo sin aceptar a la aritmética como parte de resolución de problemas algebraicos (no de manera explícita). Hoy, 2018, el ordenador puede hacer todos, absolutamente todos, los cálculos difíciles. Nosotros sólo debemos darle los valores y conjugar símbolos así nos da el resultado. Por eso hacerles entender a los niños cálculos matemáticos en papel y lápiz me parece absurdo; que se los muestren en un ordenador así tienen en visto qué puede hacer una máquina, y cómo son las operaciones fundamentales.

Está bien, querés dejar a un lado la \( x \) elevada a \( 1 \), pero del otro lado queda una cosa un poco más espantosa: \( ax^{-(b-1)} \). Aquí no está despejada \( x \). ¿Qué miembro del igual tomamos si en ambos aparece la \( x \) cuando el objetivo es despojarla de toda impureza?

No, sólo era mi punto de vista, un poco adornado, de por qué la derivada no es una operación fundamental del álgebra; te lo resumo de mejor manera: los fundamentos del álgebra no conocieron la derivada, cuando se inventaron, no había nacido ni ella ni esos números tan chiquititos

Entonces... ¿que la derivada no aparezca entre las operaciones fundamentales es por un proceso histórico?

Es cierto que la suma, resta, multiplicación y división ya se usaban desde hace miles de años antes que la derivación, pero el mundo se ha ido acomplejando (para bien o para mal, es subjetivo) y cada vez necesitamos más herramientas para explicar el mundo que nos rodea (entre ellas, la tasa de cambio de un fenónemo natural ). Por ejemplo, estoy fascinado que un físico español, el Dr. Javier Santaolalla, brinde charlas sobre física públicas y gratuitas en YouTube. Hasta tiene su tesis y toda la bola. ¡Qué maravilla!

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

¿Es decir que la derivada (*) se aplica a funciones y las operaciones fundamentales a variables?

A mi la batalla de discutir a que llamamos "operación fundamental" para ser sincero no me interesa demasiado. En general todas ese tipo de clasificaciones en matemáticas son anecdóticas, no cambian el fondo del asunto. Las subdivisiones en aritmética, álgebra, geometría, topología, análisis, etcétera... son artificiales y muchos conceptos pueden encajarse en varias de estas categorías; por ejemplo las derivadas pueden introducirse con un punto de vista muy algebraico, como un operador cumpliendo ciertas reglas o como se hace habitualmente analítcamente; pero eso no modifica el cálculo o uso de las mismas.

Entonces esas clasificaciones están bien si uno quiere tener la información un poco ordenada, como clasificar películas en drama, comedia, aventuras, terror... pero si posibles solapamientos o dudas en donde encaja tal o cual concepto van a ser un problema, van a dificultar la comprensión, vale la pena omitirlas. Siguiendo la analogía si te va a hacer sentir mal reirte en una película clasificada como drama o llorar en una comedia, vale la pena que veas la película olvidando su clasificación.

Volviendo a tu pregunta concreta. La diferencia entre las ecuaciones:

\( x^2=4 \)

y

\( 6+\displaystyle\int_{a}^{x}\frac{f(t)}{t^2}\:\mathrm{d}t\quad=\quad2\sqrt{x} \)

es que en la primera la incógnita es un número real y en la segunda la incógnita es un número y una función. Además y esto es también esencial, la primera ecuación no la suponemos cierta para todo \( x \), sino que precisamente buscamos la \( x \) que la hace cierta. La segunda igualdad es entre funciones; suponemos que se cumple para todo \( x \), y buscamos la función \( f(x) \) que la hace cierta.

Si tienes eso claro no debería de quedar ninguna duda de porque en el primer caso no avanzamos nada derivado, no se mantiene la igualdad (derivamos funciones distintas a cada lado); y de porque en el segundo el derivar mantiene la igualdad (¡derivamos la misma función a ambos lados!). Y deberías de tener claro de que no tiene nada que ver con si la operación es o no fundamental (signifique lo que signifique fundamental).

Saludos.

[feriva]

Hola, Manooooh.

Entonces... ¿que la derivada no aparezca entre las operaciones fundamentales es por un proceso histórico?

En cierto modo sí. La cuestión está en que se hacen distinciones entre álgebra, aritmética, análisis... Todo ello es el edificio de las matemáticas, pero se distinguen (de una forma en la que cabe cierta subjetividad) los cimientos, el sótano, los distintos pisos y la azotea. Como se empieza a construir por los cimientos, primero se da nombre a lo que está en los cimientos. Después, en lo que sigue, se utilizarán algunos materiales comunes, claro, pero empezaron a usarse antes en los cimientos. Que la suma sea, o se considere, una operación fundamental del álgebra, no implica que no sea también una operación fundamental de la aritmética, por ejemplo (no sé si se dice o se cataloga así, pero, evidentemente, lo es también).
Además, ocurre que en la derivación se usan todas esas reglas (suma, resta...) por tanto, es como poco un compendio de las demás, no es una operación “simple” o básica, es más un método. Es como si decimos que el producto de matrices es una operación fundamental del álgebra lineal; pues no es una sola operación, se podría llamar así al hecho de multiplicar un solo elemento de una fila por otro de una columna, pero no a todo el proceso, donde además entran dos operaciones fundamentales, la suma y la multiplicación (y frecuentemente entran las demás). Así que es también una cuestión de conceptos diferentes, como cuando hablamos de un elemento y de un conjunto; cierto es que un elemento también es un conjunto, pero nosotros hacemos distinciones según los casos.

Pero si tú quieres decir que la derivación es una operación fundamental del álgebra, pues dilo; qué te importa la opinión de los demás. Es cuestión de palabras, de nombres, es algo donde interviene la subjetividad.

Está bien, querés dejar a un lado la \( x \) elevada a \( 1 \), pero del otro lado queda una cosa un poco más espantosa: \( ax^{-(b-1)} \). Aquí no está despejada \( x \). ¿Qué miembro del igual tomamos si en ambos aparece la \( x \) cuando el objetivo es despojarla de toda impureza?

Ah, si es por limpieza o elegancia, en álgebra siempre podemos cambiar los símbolos por otros: x=2. De ésta manera ya queda elegante

…
Yo también he estado viendo vídeos de Javier Santaolalla últimamente, es muy simpático y sus vídeos son muy entretenidos (lo que pasa es que es un terraplanista radical, ¿no; o me enterado mal? ).


Saludos.