Autor Tema: Inversa de una función

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10 Julio, 2018, 11:56 pm
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Lorenita

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hola

Tengo una duda


¿Cómo se calcula la inversa de la función \( f(x) = x^2 -x+1 \) , con la condición que \( x \in{} R^- \) y cual es la condición para "x"?

11 Julio, 2018, 02:34 am
Respuesta #1

Buscón

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hola

Tengo una duda


¿Cómo se calcula la inversa de la función \( f(x) = x^2 -x+1 \) , con la condición que \( x \in{} R^- \) y cual es la condición para "x"?

La función    \( f:\mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R}} \)    es derivable.

La función    \( f'(x)=2x-1 \)    se anula en    \( x=\displaystyle\frac{1}{2} \)    y    \( f'(0)=-1 \)    así que la función    \( f \)    restringida a
\( \mathbb{R^-} \)    es estrictamente decreciente luego biyectiva y debería tener inversa. Sólo falta calcularla.

:)

Saludos.

11 Julio, 2018, 02:39 am
Respuesta #2

Lorenita

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Me la puedes explicar sin derivar , gracias

11 Julio, 2018, 06:23 am
Respuesta #3

delmar

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Hola

La función esta definida para todo número real negativo.  Una función para tener inversa ha de ser inyectiva. ¿Será inyectiva para todo número real negativo? Hay que averiguarlo :

Supongamos que no es inyectiva en \( R^- \) , eso significa, \( \exists{x_1,x_2}\in{R^-} \ / \ x_1\neq{x_2}, \ \wedge f(x_1)=f(x_2) \)

Entonces : \( x_1^2-x_1+1=x_2^2-x_2+1\Rightarrow{(x_2^2-x_1^2)-(x_2-x_1)=0}\Rightarrow{x_2=1-x_1} \)

Pero : \( x_1<0\Rightarrow{-x_1>0}\Rightarrow{1-x_1>1}\Rightarrow{x_2>1} \), absurdo por que \( x_2<0 \). Por lo tanto f es inyectiva en \( R^- \) y en consecuencia tiene inversa en \( R^- \)

f es una función : \( f=\left\{{(x,y) \ / \ y=x^2-x+1, \ x\in{R^-}}\right\} \)

La inversa es : \( f^{-1}=\left\{{(y,x)}\right\} \), hay que poner x en función de y, nos basamos en : \( y=x^2-x+1\Rightarrow{x^2-x+(1-y)=0} \)

Se despeja x utilizando la solución para las ecuaciones de segundo grado : \( x=\displaystyle\frac{1\pm{\sqrt[ ]{1-4(1-y)}}}{2} \)

Por ser \( x<0 \) se tiene : \( x=f^{-1}(y)=\displaystyle\frac{1-\sqrt[ ]{4y-3}}{2} \), además se precisa el dominio  \( D(f^{-1}) \), considerando que \( 4y-3>0 \ \wedge \ \displaystyle\frac{1-\sqrt[ ]{4y-3}}{2}<0 \), con la relación funcional \( f^{-1}(y) \) y el dominio \( D(f^{-1}) \), la función inversa \( f^{-1} \) queda determinada.


Saludos

11 Julio, 2018, 01:50 pm
Respuesta #4

Buscón

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Me la puedes explicar sin derivar , gracias


Pues no se me ocurre como. Bueno tras la respuesta de delmar si.

Saludos.

20 Julio, 2018, 06:27 am
Respuesta #5

Lorenita

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gracias por la ayuda , sin red por muchos dias

24 Julio, 2018, 03:14 pm
Respuesta #6

adhemir

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Ola, bueno yo lo haría de la siguiente forma:
Completamos cuadrados  y obtenemos :
\( f(x)=y=x^2-x+1=x^2-x+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+1=(x-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4} \)
Ahora para calcular la inversa  debemos  encontrar una función que depende de la variable  \( y, \) para eso debemos despejar la variable \( x \). Así de la  igualdad de anterior obtenemos:
\( \sqrt{y-\frac{3}{4}}=|x-\frac{1}{2}| \Longrightarrow{ g(y)=x=\frac{1}{2}-\sqrt{y-\frac{3}{4}}} \)
Nota que coloque menos en el signo de la raíz ya que por hipótesis \( x<0 \). Puedes verificar que realmente \( g(y) \) es la inversa calculando la composición de las funciones:
\(  f\circ g = g \circ f = id  \)
 o sea
\(  f(g(y))=y \mbox{ e } g(f(x))=x \) 

Finalmente a la inversa se le denota por \( g=f^{-1} \)