Autor Tema: Cálculo del área de la intersección de un cilindro con un plano (elipse).

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

23 Junio, 2018, 04:24 am
Leído 1792 veces

AlejandroCB

  • Junior
  • Mensajes: 39
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola, muy buenas.

Traigo un problema muy básico que me está volviendo loco.
Soy estudiante de ingeniería, por ende mi peregrinaje por las matemáticas es muy pobre (y acelerado), y es algo que quiero ir mejorando con el tiempo.

Al lío:

La cosa es que quiero parametrizar la superficie resultante de la intersección del plano:

\( T: z = 2-x \) y el cilindro: \( S: (y-1)^2+(z-1)^2 = 1 \).

La idea es simplemente eso: poder calcular el área que luego necesitaré para calcular un flujo mediante la definición.

He visto que en la resolución del ejercicio (lo que pasa es que se saltan pasos, por eso me encuentro aquí) sacan los ejes de la elipse, ¿cuál sería el procedimiento a seguir?

Ah, por cierto, lo que yo he intentado ha sido sustituir \( z \) en \( S \), pero el resultado es un cilindro vertical (la proyección de la elipse sobre el plano XY si considero z=0, lo cual no me es útil).

Muchas gracias de antemano.

23 Junio, 2018, 05:54 am
Respuesta #1

delmar

  • Moderador Global
  • Mensajes: 2,100
  • País: pe
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Se trata de hallar el área de la elipse (intersección entre el cilindro S y el plano T), cuya proyección sobre el plano YZ, es un círculo de radio 1 con centro en el punto (0,1,1). Si denominamos el área de la elipse \( A \) y la de su proyección \( A_p \), existe una relación entre estas áreas : \( A_p=A \ cos(\theta) \) Ec. 1, donde \( \theta \) es el ángulo entre el plano T y el plano YZ, es decir el plano que contiene el área a proyectar (elipse) y el plano que contiene a su proyección (círculo). Ese ángulo \( \theta \), es el ángulo entre sus vectores normales. Para ello, considerando que :

Vector normal al plano T, se deduce de su ecuación \( x+0y+z=2\Rightarrow{\vec{n_1}=(1,0,1)=\vec{i}+\vec{k}} \)

Vector normal al plano YZ, es \( \vec{n_2}=\vec{i} \)

Se aplica la propiedad del producto escalar de dos vectores : \( <\vec{n_1},\vec{n_2}>=\left |{\vec{n_1}}\right | \ \left |{\vec{n_2}}\right | \ cos(\theta) \)

Se obtiene \( cos(\theta) \) y luego con la Ec. 1 se obtiene \( A \), ya que se conoce \( A_p=\pi 1^2=\pi \)

Saludos

Nota : En ingeniería este es el método más recomendable, es decir considerar la relación entre el área que se proyecta y la proyectada.

23 Junio, 2018, 11:25 am
Respuesta #2

AlejandroCB

  • Junior
  • Mensajes: 39
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Muchas gracias! El resultado es correcto, pero me gustaría ver en algún libro de texto el desarrollo de este razonamientos por pura curiosidad.
Lo cierto es que vengo de ciencias sociales por lo que tengo huecos vacíos en todo el tema de geometría.

Edito:

Me acabo de dar cuenta de que en el examen resuelto dicen que el resultado es \( \sqrt{2}\pi \).
¿Es una errata?

Edito(2):

Hace un rato dándole vueltas me di cuenta de que tenía delante una superficie, así que calculé el área de la superficie mediante cosenos directores, y en efecto el resultado es \( \sqrt{2}\pi \), sin embargo veo que esa fórmula aparece en wikipedia inglés, y no sé dónde estará el fallo. Por cierto, con tu respuesta me has dado una nueva forma de visualizar el problema, de ahí llegué a ciertas conclusiones y pude resolverlo!

25 Junio, 2018, 11:52 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 46,729
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Muchas gracias! El resultado es correcto, pero me gustaría ver en algún libro de texto el desarrollo de este razonamientos por pura curiosidad.
Lo cierto es que vengo de ciencias sociales por lo que tengo huecos vacíos en todo el tema de geometría.

Edito:

Me acabo de dar cuenta de que en el examen resuelto dicen que el resultado es \( \sqrt{2}\pi \).
¿Es una errata?

Edito(2):

Hace un rato dándole vueltas me di cuenta de que tenía delante una superficie, así que calculé el área de la superficie mediante cosenos directores, y en efecto el resultado es \( \sqrt{2}\pi \), sin embargo veo que esa fórmula aparece en wikipedia inglés, y no sé dónde estará el fallo. Por cierto, con tu respuesta me has dado una nueva forma de visualizar el problema, de ahí llegué a ciertas conclusiones y pude resolverlo!

Es que a delmar también le da \( \sqrt{2}\pi \). Si completas sus cálculos verás que \( cos(\theta)=\sqrt{2}/2 \) de donde:

\( A=\dfrac{A_p}{\cos(\theta)}=\dfrac{\pi}{\sqrt{2}/2}=\sqrt{2}\pi \).

Saludos.

25 Junio, 2018, 04:15 pm
Respuesta #4

AlejandroCB

  • Junior
  • Mensajes: 39
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Muchas gracias! El resultado es correcto, pero me gustaría ver en algún libro de texto el desarrollo de este razonamientos por pura curiosidad.
Lo cierto es que vengo de ciencias sociales por lo que tengo huecos vacíos en todo el tema de geometría.

Edito:

Me acabo de dar cuenta de que en el examen resuelto dicen que el resultado es \( \sqrt{2}\pi \).
¿Es una errata?

Edito(2):

Hace un rato dándole vueltas me di cuenta de que tenía delante una superficie, así que calculé el área de la superficie mediante cosenos directores, y en efecto el resultado es \( \sqrt{2}\pi \), sin embargo veo que esa fórmula aparece en wikipedia inglés, y no sé dónde estará el fallo. Por cierto, con tu respuesta me has dado una nueva forma de visualizar el problema, de ahí llegué a ciertas conclusiones y pude resolverlo!

Es que a delmar también le da \( \sqrt{2}\pi \). Si completas sus cálculos verás que \( cos(\theta)=\sqrt{2}/2 \) de donde:

\( A=\dfrac{A_p}{\cos(\theta)}=\dfrac{\pi}{\sqrt{2}/2}=\sqrt{2}\pi \).

Saludos.

¡Ah, qué torpe por mi parte!
Muchas gracias, Luis.
Tuve un lapsus y no sé por qué pero creí que el área que quería hallar el \( A_p \).