Autor Tema: Demostrar que n(n+1)(2n+1)/6 es entero

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22 Junio, 2018, 07:05 pm
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manuel_david

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Hola a todos,

Primero de todo, quisiera reiterar mis disculpas por no saber todavía utilizar Latex. En cuando pueda me pongo en ello... Pero apenas puedo disponer de mi propio ordenador, y el único internet del que dispongo es el del móvil (ahora estoy utilizando el ordenador con "tethering"...

Mi gran miedo en este mundo de las matemáticas son las demostraciones (vamos, que me cayera una en un examen y no supiera ni por donde empezar)... Por eso me enfrento a los ejemplos ya resueltos de diferentes manuales que he conseguido, e intento resolverlas sin mirar la solución... No hay alegría más grande cuando compruebo que mi manera de resolver dicha demostración coincide con la del libro; pero cuando no es así, me empiezan a entrar las dudas y por mi cabeza pasa una y otra vez esta idea: "seguro que tu demostración hace agujeros por alguna parte"... , sobre todo cuando mi solución es más "directa" (más breve) que la del libro.

Bueno, os paso fotos del libro (incompleta porque no me coge la foto todo, pero lo principal se ve) y de mi solución a mano, y ya me decís algo...

Ah, otra cosa muy muy importante: ¿Si me hubiera caído ese ejercicio en un examen oficial del grado de Matemáticas, la manera de exponer mis conclusiones, sería la correcta? Me refiero a todo, los conectores, la estructura, todo... (POR EJEMPLO, NUNCA ESTOY DEL TODO SEGURO SI TENGO QUE UTILIZAR "=>" Ó "<=>"...

22 Junio, 2018, 07:09 pm
Respuesta #1

manuel_david

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no se me cargó la otra foto, nuevamente disculpas.

Y una cosa más... en estos momentos, las demostraciones que más miedo me dan son las de la asignatura de "Matemáticas Discretas"...

22 Junio, 2018, 07:36 pm
Respuesta #2

feriva

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Hola, no lo veo muy bien porque mi vista no es muy allá; pero te doy yo una forma sencilla de demostrarlo por si te sirve:

Tenemos \( n(n+1)(2n+1)
  \).

Si n no es par, entonces n+1 es par o viceversa; luego ya es divisible entre 2.

Suponemos que ningún factor es múltiplo de 3 (si alguno lo fuera, ya se daría el caso ) y entonces ocurre que n/3 nos da resto 1 y (n+1)/3 nos da resto 2 ó viceversa.

Luego con el tercer factor ocurriría que

\( 2n+1=n+(n+1)=3k+3m+1+2=3(k+m)+3
  \) y sería múltiplo de 3.

Luego el número dado es múltiplo de 6.

Saludos.

22 Junio, 2018, 08:57 pm
Respuesta #3

Juan Pablo Sancho

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Otras formas:
Primera (matar moscas a cañonazos)
Probar por inducción que \( \displaystyle \sum_{i=1}^n i^2 = \dfrac{n \cdot (n+1) \cdot (2n+1)}{6}  \)

Segunda:

\( n \cdot (n+1) \cdot (2n+1) = n \cdot (n+1) \cdot (n-1 + n+2) = (n-1) \cdot n \cdot (n+1) + n \cdot (n+1) \cdot (n+2)  \)

El \( \LaTeX  \) es uso obligatorio en el foro,todos hacemos ese esfuerzo,cuando tengo la conexión baja también veo las estrellas pero no dejo de usar el latex.


22 Junio, 2018, 11:23 pm
Respuesta #4

manuel_david

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1) Juan Pablo... No entiendo el primer método de "matar moscas a cañonazos... (¿De dónde sacas i^2?)

2) Y en cualquier caso, ¿podéis ver bien cómo lo he hecho yo? ¿Bajo algún parámetro, aunque sea el mal uso de un conector lógico, estaría bien hecho en un examen?

 3)Intentaré aprenderse a usar Látex... ¿Se puede usar en el móvil?

22 Junio, 2018, 11:42 pm
Respuesta #5

Juan Pablo Sancho

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El primer método no es el más indicado es usar que:
\(  1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \dfrac{n \cdot (n+1) \cdot (2n+1)}{6} \in \mathbb{N} \)
El segundo método es el que interesa.


Veo que lo hiciste bien

2) Y en cualquier caso, ¿podéis ver bien cómo lo he hecho yo? ¿Bajo algún parámetro, aunque sea el mal uso de un conector lógico, estaría bien hecho en un examen?
.
Pero se hace esencial  el uso del latex para ver lo que pides y no tener que bajar imágenes o textos.




22 Junio, 2018, 11:57 pm
Respuesta #6

manuel_david

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¿Y de dónde sacas ese primer método? Es que no veo demdonde lo deduces...

23 Junio, 2018, 12:04 am
Respuesta #7

sugata

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Yo hace meses que contesto usando el móvil y látex.
Se tarda un poco más, pero ningún problema.
No veo problema a tu respuesta salvo que te pidan  ciertas propiedades.

23 Junio, 2018, 12:23 am
Respuesta #8

feriva

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2) Y en cualquier caso, ¿podéis ver bien cómo lo he hecho yo? ¿Bajo algún parámetro, aunque sea el mal uso de un conector lógico, estaría bien hecho en un examen?

Sí, ya he ampliado la imagen y lo he podido seguir; está correcto.

Lo otro de Juan Pablo se deduce por inducción; es un ejercicio típico (no es que se sepa por ciencia infusa). Al deducirlo por inducción, lo purebas, pues como la suma de los cuadrados es un número natural, es cierto que esa cuenta, que está dividida entre 6, es divisible entre 6, obviamente

25 Junio, 2018, 01:05 pm
Respuesta #9

Luis Fuentes

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Hola

¿Y de dónde sacas ese primer método? Es que no veo demdonde lo deduces...

En el primer método Juan se aprovecha de que ya sabe (porque es una fórmula famosa) que:

\( \displaystyle \sum_{i=1}^n i^2 = \dfrac{n \cdot (n+1) \cdot (2n+1)}{6} \)

Entonces te sugiere que la demuestres por inducción, con lo cual con todo derecho puedes decir que es cierta aunque en la vida te la hubiesen explicado. La trampa está en que para que a uno se le ocurra hacer eso tiene que conocer la fórmula o sospechar que funciona.

En cuanto a tu solución, no la he visto en detalle. Eso si, al principio tienes que poner equivalencias y no implicas.

Es decir si quieres probar que \( A \) es cierto, no puedes empezar poniendo:

\( A\quad \Rightarrow{}\quad B \)     (*)
 
y luego demostrar B, porque del hecho de que sea cierto \( B \) y de (*) no se deduce que sea cierto \( A \).

Entonces en lugar de (*) debes de poner (si se cumple) que:

\( A\quad\Longleftrightarrow{}\quad B \)

ó

\( A\quad\Leftarrow{}\quad B \)

Saludos.

26 Junio, 2018, 07:35 pm
Respuesta #10

manuel_david

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Llevas razón Luis...

Por cierto, una cosa más... ¿y no tendría que demostrar antes, por evidente que me pudiera parecer a mí, que A y B son equivalentes? Uno de mis grandes temores en las demostraciones es que no acabo de tener claro qué cosas hay que dar por sentadas y cuáles tengo que demostrar...

26 Junio, 2018, 07:39 pm
Respuesta #11

Luis Fuentes

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Hola

Llevas razón Luis...

Por cierto, una cosa más... ¿y no tendría que demostrar antes, por evidente que me pudiera parecer a mí, que A y B son equivalentes? Uno de mis grandes temores en las demostraciones es que no acabo de tener claro qué cosas hay que dar por sentadas y cuáles tengo que demostrar...

Es una propiedad bien conocida que si \( p,q \) son coprimos:

\( n \) divisble por \( pq \) es equivalente a \( n \) divisible por \( p \) y \( n \) divisible por \( q \)

Es fácil de demostar; no obstante probablemente (aunque eso depende mucho del contexo en el que te hayan propuesto el problema) sea razonable dar esa propiedad por conocida.

Saludos.

05 Julio, 2018, 08:52 pm
Respuesta #12

manuel_david

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¡¡ :aplauso:Muchas gracias!!

24 Julio, 2018, 12:08 pm
Respuesta #13

juan luis

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Para que un número sea divisible por 6, el dividendo tiene que ser necesariamente múltiplo de 2 y de 3. En nuestro caso \( n(n+1) \) genera números pares y \( (2n+1) \) genera números impares, pero su producto solo genera pares. Luego solo tenemos que demostrar que para cada valor de n, al menos una de las anteriores expresiones sea múltiplo de 3.
La expresión \( 2n+1 \) genera múltiplos de 3 para \( n=(1+3x) \)  sustituimos y tenemos \( 2(1+3x)+1=3(1+2x) \)
la expresión \( n(n+1) \) genera múltiplos de 3 para \( n=(2+3x) \) sustituyendo \( (2+3x)(2+3x+1)=9x^2+15x+6 \) que es divisible por 3.
También \( n(n+1) \) genera múltiplos de 3 para \( n=(3+3x) \)  sustituyendo \( (3+3x)(3+3x+1)=9x^2+21x+12 \) que tambien es divisible por 3.
Como \( (1+3x)= 1, 4, 7, 10, 13, ....... \)
         \( (2+3x)= 2, 5, 8, 11, 14, ....... \)
         \( (3+3x)= 3, 6, 9, 12, 15, ....... \)
como estas tres sucesiones contienen  cualquier valor que pueda tomar x, luego siempre una de las dos expresiones será multiplo de 3 con lo cual queda demostrado 

15 Abril, 2020, 12:51 am
Respuesta #14

manuel_david

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He tenido graves problemas familiares. Quería dar las gracias de todo corazón.

15 Abril, 2020, 07:26 pm
Respuesta #15

feriva

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He tenido graves problemas familiares. Quería dar las gracias de todo corazón.

Cuánto lo siento.

Un abrazo.