[ces]

Hola,

Sea \( p_{a}(x) \) un polinomio cúbico, cuyos coeficientes dependen del parámetro \( a \).

Por ejemplo:
\( p_a(x) = a^2 x^3 + 19a \)
\( p_a(x) = a^3 x^3 + 19a^2+1 \)

(en la práctica, el grado con el que aparece \( a \) en el polinomio está acotado por \( 3 \)).

Supongamos que \( a\in{[0,1]} \)

Supongamos también que conozco todas las raíces del polinomio \( p_{1/2}(x) \) (es decir, para \( a=1/2 \))

Mi intuición me dice, que si considero las raíces del polinomio \( p_{1/2+\delta}(x) \) (es decir \( a=1/2+\delta \)), éstas no deben andar muy lejos de las raíces que ya conozco para \( a=1/2 \), una a una.

Mi pregunta es si conocéis algún trabajo, libro o procedimiento que pueda seguir para dar buenas cotas para las raíces de \( p_{1/2+\delta}(x) \) en función de las raíces que conozco para \( p_{1/2}(x). \)


Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola,

Sea \( p_{a}(x) \) un polinomio cúbico, cuyos coeficientes dependen del parámetro \( a \).

Por ejemplo:
\( p_a(x) = a^2 x^3 + 19a \)
\( p_a(x) = a^3 x^3 + 19a^2+1 \)

(en la práctica, el grado con el que aparece \( a \) en el polinomio está acotado por \( 3 \)).

Supongamos que \( a\in{[0,1]} \)

Supongamos también que conozco todas las raíces del polinomio \( p_{1/2}(x) \) (es decir, para \( a=1/2 \))

Mi intuición me dice, que si considero las raíces del polinomio \( p_{1/2+\delta}(x) \) (es decir \( a=1/2+\delta \)), éstas no deben andar muy lejos de las raíces que ya conozco para \( a=1/2 \), una a una.

Mi pregunta es si conocéis algún trabajo, libro o procedimiento que pueda seguir para dar buenas cotas para las raíces de \( p_{1/2+\delta}(x) \) en función de las raíces que conozco para \( p_{1/2}(x). \)

En general si tienes:

\( f(a,x)=0 \)  (*)

y conoces \( (a_0,x_0) \) con \( f(a_0,x_0)=0 \) puedes estimar como varía la raíz \( x_0 \) cerca de \( a_0 \) a través de la derivada de \( x \) respecto de a que puedes hallar derivando implícitamente en (*) considerando \( x \) como función de \( a \).

Por ejemplo si tienes:

\( a^2x^2+19a=0 \)

Derivando respecto de \( a \) te queda:

\( 2ax^2+2a^2x\cdot x'+19=0 \)

\( x'=\dfrac{-19-2ax^2}{2a^2x} \)

Saludos.