Autor Tema: Anillo local

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20 Junio, 2018, 11:35 am
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conchivgr

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Hola

En uno de los ejemplos de mi libro, tenemos el ideal generado por una curva la curva \( (y^2z-x^3) \) (plano proyectivo) y el homomorfismo \( k[x,y,z]/(y^2-x^3)\longrightarrow{k(t)} \), donde \( k[x,y,z] \) es el anillo de polinomios de tres variables y \( k(t) \) es el cuerpo de funciones racionales.

Dice entonces que \( t=\displaystyle\frac{y}{x} \). Por qué?.

Es decir, qué parametrización de \( (y^2-x^3) \) ha tomado y cómo ha llegado a la conclusión de que \( t=\displaystyle\frac{y}{x} \)?.

Tengo que hacer lo mismo con el ideal generado por la parábola \( y-x^2 \), es decir, hallar el parámetro \( t \).

En este caso, \( k[x,y]/(y-x^2)=k[x,y]/(t,t^2) \), donde

\( x=t \)

\( y=t^2 \)

De la segunda ecuación tenemos que \( t=\displaystyle\frac{y}{t} \).

Si sustituimos en la primera, tenemos que

\( x=t\longrightarrow{x=\displaystyle\frac{y}{t}}\longrightarrow{t=\displaystyle\frac{y}{x}} \)

Obteniendo el mismo resultado que la primera curva.

Es esto correcto?

Besos.

20 Junio, 2018, 11:41 am
Respuesta #1

conchivgr

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Hola.

Ya me respondo a mi misma.

Creo que si es correcto, realmente la primera curva es la parábola en el plano proyectivo y la segunda es la parábola en el plano afín.

Entonces, \( t=\displaystyle\frac{y}{x} \).

Besos.