Autor Tema: Identidades trigonométricas

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16 Junio, 2018, 08:49 am
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daltanius

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 Hola estan muy dificiles estos ejercicios por favor, me he esforzado en entenderlos necesito el desarrollo de cada uno. gracias

8. \( \displaystyle\frac{tan(x)}{1-cot(x)}+\displaystyle\frac{cot(x)}{1-tan(x)}\equiv{}1+tan(x)+cot(x) \)

10. \( 1-2\sen^2\alpha=\dfrac{\cot\alpha-\tg\alpha}{\tg\alpha+\cot\alpha} \)


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16 Junio, 2018, 10:25 pm
Respuesta #1

manooooh

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Hola daltanius, bienvenido al foro.

Hola están muy difíciles estos ejercicios por favor, me he esforzado en entenderlos necesito el desarrollo de cada uno. Gracias.

Recordá leer y seguir las reglas del mismo así como el tutorial del \( \LaTeX \) para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

En particular no debés de poner enunciados de problemas en archivo adjuntos, sino teclearlos directamente en el mensaje. Acá no estamos para resolver la tarea, sino ayudar en comprender qué no se entiende. Por esta vez te voy a ayudar más de lo debido, pero para la próxima por favor escribí todas tus dudas. Tampoco es recomendable escribir títulos como "Hola", "Necesito ayuda", etc.



¿Sabés qué es una identidad trigonométrica? ¿Qué identidades conocés? A continuación te pongo un link que describe las principales: http://wiki.campusvirtualelmayor.edu.co/?q=las-identidades-trigonometricas. Echales un vistazo.

Usando la tabla de esa página te voy a ayudar a hacer el 10.:

10. \( 1-2\sen^2\alpha=\dfrac{\cot\alpha-\tg\alpha}{\tg\alpha+\cot\alpha} \).

Por como viene el ejercicio voy a desarrollar el segundo miembro de la igualdad hasta lograr conseguir llegar a la misma expresión que la del miembro izquierdo (se puede hacer a la inversa también, pero en ese caso tenemos que agregar expresiones y resulta un poco más laborioso).

\( \begin{array}{cl}
\dfrac{\cot\alpha-\tg\alpha}{\tg\alpha+\cot\alpha}&\underbrace{=}_{\text{Identidades de tangente}\\\text{y cotangente}} \\
&\\
\dfrac{\frac{\cos\alpha}{\sen\alpha}-\frac{\sen\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\sen\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\cos\alpha}{\sen\alpha}}&\underbrace{=}_{\text{Denominador común}} \\
&\\
\dfrac{\frac{\cos^2\alpha-\sen^2\alpha}{\sen\alpha\cdot\cos\alpha}}{\frac{\sen^2\alpha+\cos^2\alpha}{\sen\alpha\cdot\cos\alpha}}&\underbrace{=}_{\text{Identidad}\\\sen^2\alpha\:+\:\cos^2\alpha\:=\:1} \\
&\\
\dfrac{\cos^2\alpha-\sen^2\alpha}{\cancel{\sen\alpha\cdot\cos\alpha}}\cdot\dfrac{\cancel{\sen\alpha\cdot\cos\alpha}}{1}&= \\
&\\
\cos^2\alpha-\sen^2\alpha&\underbrace{=}_{\text{Identidad (derivada de la anterior)}\\ \cos^2\alpha\: =\: 1\: -\: \sen^2\alpha} \\
&\\
1-\sen^2\alpha-\sen^2\alpha&= \\
&\\
\boxed{1-2\sen^2\alpha}.
\end{array} \)

Para el resto se resuelve de manera similar, aplicando las identidades que utilicé recién.

Saludos

17 Junio, 2018, 07:12 pm
Respuesta #2

hméndez

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Hola estan muy dificiles estos ejercicios por favor, me he esforzado en entenderlos necesito el desarrollo de cada uno. gracias

En el spoiler tienes la prueba de la Identidad N° 8 (no lo despliegues hasta no haberlo intentado por tu cuenta).

Identidad N° 8

\( \displaystyle\frac{tan(x)}{1-cot(x)}+\displaystyle\frac{cot(x)}{1-tan(x)}\equiv{}1+tan(x)+cot(x) \)


Spoiler
Aquí: \( t=tan(x),\quad c=cot(x) \)  y como debe ser  \( t\cdot{}c=1 \)

\( \begin{equation*}
\begin{split}
\displaystyle\frac{t}{1-c}+\displaystyle\frac{c}{1-t}&=\displaystyle\frac{t\;(1-t)+c\;(1-c)}{(1-c)(1-t)}\\\\
&=\displaystyle\frac{(t+c)-(t^2+c^2)}{2-(t+c)}\\\\
&=\displaystyle\frac{(t+c)-[(t+c)^2-2]}{2-(t+c)}\\\\
&=\displaystyle\frac{(t+c)^2-(t+c)-2}{t+c-2}\\\\
&=\displaystyle\frac{\cancel{(t+c-2)}(t+c+1)}{\cancel{t+c-2}}\\\\
&=1+t+c
\end{split}
\end{equation*}
 \)
[cerrar]

Saludos