Autor Tema: Estimación de cotas

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25 Junio, 2018, 04:30 am
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FichaG

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Hola me ayudarían con estas cotas no entendí cuando las explicaron, no entiendo muy bien como las tomaron
Sea la integral

\( \displaystyle\int_{\mathbb{R}}\dfrac{1-\cos t}{\mid t \mid ^{1+2s}}dt=\int_{\mid t\mid <1} \dfrac{1-\cos t}{\mid t\mid^{1+2s}}dt +
\int_{\mid t \mid\geq 1}\dfrac{1-\cos t}{\mid t \mid ^{1+2s}} dt \)

Se tiene que

\( \displaystyle 0\leq \int_{\mid t\mid\geq 1} \dfrac{1-\cos t}{\mid t\mid^{1+2s}}dt\leq 4 \int_{1}^{\infty}\dfrac{1}{t^{1+2s}}dt=\dfrac{2}{s}  \)

Y

\( \displaystyle \int_{\mid t\mid<1} \dfrac{1-\cos t}{\mid t \mid ^{1+2s}}dt -\int_{\mid t\mid } \dfrac{t^{2}}{2\mid t\mid^{1+2s}}dt\leq C\int_{\mid t\mid<1} \dfrac{\mid t\mid^{3}}{\mid t\mid^{1+2s}}dt=  \dfrac{2C}{3-2s}  \)

25 Junio, 2018, 09:17 am
Respuesta #1

Fernando Revilla

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    • Fernando Revilla
\( \displaystyle 0\leq \int_{\mid t\mid\geq 1} \dfrac{1-\cos t}{\mid t\mid^{1+2s}}dt\leq 4 \int_{1}^{\infty}\dfrac{1}{t^{1+2s}}dt=\dfrac{2}{s}  \)

De la desigualdad \( 0\le 1-\cos t\le 2 \) para todo \( t \) real se deduce

          \( \displaystyle 0\leq \int_{\mid t\mid\geq 1} \dfrac{1-\cos t}{\mid t\mid^{1+2s}}dt\le 2\int_{\mid t\mid\geq 1} \dfrac{dt}{\mid t\mid^{1+2s}} \)

y al ser la función \( \mid t\mid^{1+2s} \) par,

          \( \displaystyle\int_{\mid t\mid\geq 1} \dfrac{dt}{\mid t\mid^{1+2s}}=2\int_{1}^{\infty}\dfrac{1}{t^{1+2s}}dt. \)

Por otra parte y si \( s >0 \), obtenemos por integración inmediata:

          \( \displaystyle\int_{1}^{\infty}\dfrac{1}{t^{1+2s}}dt=\ldots=\displaystyle\frac{1}{2s}. \)

Intenta algo para la segunda desigualdad.