Hola
De hecho, el que hayas conseguido que el valor \( \frac{1}{2} \) optimiza la expresión me causa mucha intriga, pues yo me esperaba un valor dependiente de \( b \) y \( n \)... aunque supongo que es por haber calculado el límite antes... Ahora, ¿eso quiere decir que el óptimo se alcanza en \( \frac{1}{2} \) siempre que \( \frac{1}{2}\leq \frac{b}{1-db} \)?
Es que tiene un error en las cuentas. No es cierto que el óptimo se alcance (ni se acerque a \( 1/2 \)).
El punto donde se alcanza el máximo se acerca a \( 0 \) a medida que \( b\to 0 \).
El error esta aquí:
\( f(a)=\displaystyle\frac{1}{1+da}[-a\,log(a)-(1-a)\,log(1-a)]=\displaystyle\frac{b}{b+na}[-a\,log(a)-(1-a)\,log(1-a)] \)\( \;\Rightarrow{} \) \( f'(a)=\displaystyle\frac{bn}{(b+na)^2}[a\,log(a)+(1-a)\,log(1-a)]-\displaystyle\frac{b}{b+na}log(\color{red}a(1-a)\color{black}) \)
Ese término es:
\( log(\color{red}a/(1-a)\color{black}) \)
El mínimo se alcanza en la solución de:
\( (1-a)^{1+\frac{n}{b}}=a \) (*)
Me gustaría que precisarás mejor exactamente cual es el contexto de tu problema y que quieres resolver. Cuando escribiste \( b\to 0 \) parecía que simplemente te interesaba el caso límite; pero ahora parece que en realidad te interesa el máximo para valores concretos de \( b \).
Desde un un punto de vista teórico no hay duda, el máximo dependiendo de \( n \) y \( b \) o bien se alcanza en la solución de (*) o bien en el límite de la cota \( a=\dfrac{b}{1-db} \).
Y para valores concretos de \( n,b \)uno puede computacionalmente (con métodos numéricos) hallar exactamente el valor del máximo. Explícitamente no porque (*) no puede ser resuelta de manera explícita.
Dicho todo eso retomo mi pregunta. ¿
Exactamente qué necesitas?.
Saludos.