Autor Tema: Resolución de ecuación diferencial por serie de potencias

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13 Junio, 2018, 05:40 pm
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YeffGC

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Hola, he estado resolviendo esta ecuación pero difiere mucho a la del solucionario

\[ y^{\prime\prime}-y^{\prime}=0 \]
\[ \displaystyle\sum_{2=2}^\infty{n(n-1)a_nx^{n-2}}-\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{na_nx^{n-1}} \]

a n=2 lo llevaré a n=1
\[ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{(n+1)na_{n+1}x^{n-1}}-\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{na_nx^{n-1}} \]
\[ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{((n+1)na_{n+1}-na_n)x^{n-1}}=0 \]
\[ (n+1)na_{n+1}-na_n=0 \]
\[ a_{n+1}=\displaystyle\frac{a_n}{n+1} \]
pero desde acá ya es muy disparejo a la solución final que es
\[ c_0-c_1+c_2e^x \]
espero su ayuda

13 Junio, 2018, 08:32 pm
Respuesta #1

Masacroso

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No sé por qué has supuesto que las funciones son analíticas... eso supondría que son infinitamente diferenciables. Tendrías que justificar previamente eso, ¿no?, o al menos a posteriori.

Desde \[ a_{n+1}=\frac{a_n}{n+1} \] obtienes que \[ a_n=\frac{a_1}{n!} \], entonces te queda que \[ y'=\sum_{n=1}^\infty a_1\frac{x^{n-1}}{(n-1)!} \], de donde obtenemos integrando que \[ y=a_1 e^x+C \], que es equivalente a la solución general que adjuntas (observa que \[ c_0-c_1 \] se puede representar por una sola constante).

14 Junio, 2018, 03:45 am
Respuesta #2

Fernando Revilla

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    • Fernando Revilla
No sé por qué has supuesto que las funciones son analíticas... eso supondría que son infinitamente diferenciables. Tendrías que justificar previamente eso, ¿no?, o al menos a posteriori.

Según el teorema (apartado 3) de Ecuación diferencial homogénea de segundo orden con coeficientes analíticos, se puede asegurar que las soluciones existen y son analíticas. Si no se usa tal teorema, sustituyendo una serie genérica en la ecuación, nos dará conciciones necesarias que como tú dices se puede verificar a posteriori que son suficientes.