Autor Tema: Equilibrio juego no cooperativo 3x2

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

15 Diciembre, 2018, 08:59 pm
Leído 400 veces

nchlpz

  • Nuevo Usuario
  • Mensajes: 12
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola:

Tengo un problema en el que necesito calcular los puntos de equilibrio del juego no cooperativo cuya bi-matriz de pagos es la siguiente:

\begin{bmatrix} (-1,-1) & (6,0)  \\ (2,2) & (9,0) \\ (5,5) & (12,0) \end{bmatrix}


Si fuese una matrix 2x2, podría asignar la probabilidad \[ x \] a la primera fila, \[ 1-x \] a la segunda, \[ y \] a la primera columna e \[ 1-y \] a la segunda columna. De esta forma, podría dibujar en el plano los valores de \[ x \] que maximizan la función de ganancia del jugador fila (\[ \pi_1 (x,y) \]), y los valores de \[ y \] que maximizan la del jugador columna (\[ \pi_2 (x,y) \]).

Al tener una matriz 3x2, no sé muy bien cómo abordar el problema. Si ahora tengo \[ a \] para la primera fila, \[ b \] para la segunda fila, \[ 1-a-b \] para la tercera fila, \[ y \] para la primera columna y \[ 1-y \] para la segunda columna, tendría que maximizar (\[ \pi_1 (a,b,y) \]) respecto a \[ a \] y a \[ b \], y (\[ \pi_2 (a,b,y) \]) respecto a \[ y \]. Entonces,

\[ \pi_1 (a,b,y)=-3b-7y-6a+12 \]
\[ \frac{{\partial \pi_1 (a,b,y)}}{{\partial a}}=-6\Rightarrow{} \] \[ a=0 \] porque siempre decrece.
\[ \frac{{\partial \pi_1 (a,b,y)}}{{\partial b}}=-3\Rightarrow{} \] \[ b=0 \] porque siempre decrece.

Análogamente con \[ \pi_2 (a,b,y) \]:
\[ \pi_2 (a,b,y)=-6ay-3by+5y \]
\[ \frac{{\partial \pi_2 (a,b,y)}}{{\partial y}}=-6a-3b+5\Rightarrow{} \] si \[ (a,b) \] está por debajo de la recta \[ -6a-3b+5=0 \], entonces \[ y=1 \]; si está sobre la recta, cualquier \[ y \]; en otro caso,\[ y=0 \].

Haciendo un boceto en 3 dimensiones me sale que la intersección es el punto \[ a=0, b=0, y=1 \].

Muchas gracias de antemano por cualquier comentario.