Hola
He estado dándole vueltas al procedimiento, pero realmente lo que no entiendo es... de dónde surge la función \( f(k) = k^2 y [k^2-(k-1)^2 \)... habrá alguna otra forma de llegar a lo mismo? (es decir, \( 2k-1 = n^2 \)).... \( k^2 \) y \( [k^2-(k-1)^2 \) es un patrón subyacente? o se llega a ello por medio de alguna propiedad que estoy ignorando?
Lo encuentro confuso, pero a ver si se me prende el bombillo.
Veamos. Hay dos cosas que entender en este ejercicio una es mecánica y la otra no tanto, digamos que require cierta intuición, experiencia, "vista"... es un "truco".
1) La mecánica es la relativa a las llamadas sumas telescópicas.
Se cumple en general que:
\( \displaystyle\sum_{k=1}^n{}(f(k)-f(k-1))=f(n)-f(0) \)
El motivo es que si desarrolamos la suma queda:
\( \underbrace{\color{red}f(1)\color{black}-f(1-1)}_{k=1}+\underbrace{\color{blue}f(2)\color{black}-\color{red}f(2-1)\color{black}}_{k=2}+\underbrace{\color{green}f(3)\color{black}-\color{blue}f(3-1)\color{black}}_{k=3}+\underbrace{\color{black}f(4)\color{brown}-\color{green}f(4-1)\color{black}}_{k=4}+\ldots+\underbrace{\color{black}f(
n)\color{black}-\color{red}f(n-1)\color{red}}_{k=n}=f(n)-f(0) \)
Donde si te fijas cada término que suma \( f(1),f(2),\ldots \) aparece restando en el siguiente y se anula. Excepto el \( -f(0) \) y el \( f(n) \).
2) La parte menos mecánica es la siguiente.
Si tenemos una suma:
\( \displaystyle\sum_{k=1}^n{}g(k) \)
Nos gustaría ser capaces de escribir \( g(k) \) como \( g(k)=f(k)-f(k-1) \) para poder aprovechar la fórmula anterior sobre sumas telescópicas.
Y aquí viene la parte de "inspiración". Si \( g(k)=2k-1 \), ¿soy capaz de encontrar \( f(k) \) tal que \( 2k-1=f(k)-f(k-1) \)?. Pues con un conocimiento de los productos notables a uno se le "ocurre" que tomando \( g(k)=k^2 \) funciona es decir:
\( f(k)-f(k-1)=k^2-(k-1)^2=k^2-(k^2-2k+1)=2k-1=g(k) \)
Hay una forma de sistematizar y generalizar esto cuando \( g(k) \) es un polinomio; puede probarse que siempre existe un polinomio \( f(k) \) de grado superior tal que \( g(k)=f(k)-f(k-1) \); pero esto sería algo más largo de contar.
Saludos.