[mrenglishlearning]

Buenas noches:

Estoy estudiando sumatorias y en el libro que estoy usando encontré el siguiente ejemplo:

\( \sum_{k=1}^{n}(2k-1) = \sum_{k=1}^{n}[k^2-(k-1)^2]

= f(k)=k^2

= n^2-(1-1)^2 = n^2  \)

Alguien me puede explicar por favor qué procedimiento siguió el autor? no da ninguna explicación y me cuesta entender cómo llegó ahí.

Antes, un par de comentarios: después de la segunda expresión, dice: acá f(k) = k^2, posteriormente va la última expresión con la variable (?) n, acompañada del comentario "según la propiedad telescópica".

Agradezco su ayuda.

[delmar]

Hola merenglishlearning

Bienvenido al foro

Buenas noches:

Estoy estudiando sumatorias y en el libro que estoy usando encontré el siguiente ejemplo:

\( \sum_{k=1}^{n}(2k-1) = \sum_{k=1}^{n}[k^2-(k-1)^2]

= f(k)=k^2

= n^2-(1-1)^2 = n^2  \)

Alguien me puede explicar por favor qué procedimiento siguió el autor? no da ninguna explicación y me cuesta entender cómo llegó ahí.

Antes, un par de comentarios: después de la segunda expresión, dice: acá f(k) = k^2, posteriormente va la última expresión con la variable (?) n, acompañada del comentario "según la propiedad telescópica".

Agradezco su ayuda.

Cuando dice \( f(k)=k^2 \), esta definiendo una sucesión y obviamente \( \displaystyle\sum_{k=1}^n{(2k-1)}=\displaystyle\sum_{k=1}^n{(k^2-(k-1)^2)}=\displaystyle\sum_{k=1}^n{(f(k)-f(k-1))} \)

A esta nueva serie por su forma particular evidente, se le conoce como telescópica y tiene la propiedad  (se puede demostrar) \( \displaystyle\sum_{k=1}^n{(f(k)-f(k-1))}=f(n)-f(0) \), es decir es la diferencia del enésimo  término de  \( f(k) \) y el primer término de \( f(k-1) \)


Saludos

[mrenglishlearning]

Hola merenglishlearning

Bienvenido al foro

Buenas noches:

Estoy estudiando sumatorias y en el libro que estoy usando encontré el siguiente ejemplo:

\( \sum_{k=1}^{n}(2k-1) = \sum_{k=1}^{n}[k^2-(k-1)^2]

= f(k)=k^2

= n^2-(1-1)^2 = n^2  \)

Alguien me puede explicar por favor qué procedimiento siguió el autor? no da ninguna explicación y me cuesta entender cómo llegó ahí.

Antes, un par de comentarios: después de la segunda expresión, dice: acá f(k) = k^2, posteriormente va la última expresión con la variable (?) n, acompañada del comentario "según la propiedad telescópica".

Agradezco su ayuda.

Cuando dice \( f(k)=k^2 \), esta definiendo una sucesión y obviamente \( \displaystyle\sum_{k=1}^n{(2k-1)}=\displaystyle\sum_{k=1}^n{(k^2-(k-1)^2)}=\displaystyle\sum_{k=1}^n{(f(k)-f(k-1))} \)

A esta nueva serie por su forma particular evidente, se le conoce como telescópica y tiene la propiedad  (se puede demostrar) \( \displaystyle\sum_{k=1}^n{(f(k)-f(k-1))}=f(n)-f(0) \), es decir es la diferencia del enésimo  término de  \( f(k) \) y el primer término de \( f(k-1) \)


Saludos

Buenas noches, delamar. Gracias por tu respuesta.

Sinceramente, no entiendo nada. Sospecho que estoy pasando por alto un tema importante que todavía no he estudiado (soy autodidacta  )
Qué hace falta para entender todo esto? progresiones aritméticas y geométricas?

[delmar]

Para entender esto es necesario conocer las propiedades de los números reales, algebra básica, propiedades de las sumatorias, lo que es una sucesión sin profundizar mucho. Estudiar por su cuenta es un mérito y más aún si viene del deseo de conocer. Cuando no se entiende algo, hay que puntualizar, en que puntos hay dudas y estoy seguro que acá se te puede ayudar.

Saludos

[mrenglishlearning]

Para entender esto es necesario conocer las propiedades de los números reales, algebra básica, propiedades de las sumatorias, lo que es una sucesión sin profundizar mucho. Estudiar por su cuenta es un mérito y más aún si viene del deseo de conocer. Cuando no se entiende algo, hay que puntualizar, en que puntos hay dudas y estoy seguro que acá se te puede ayudar.

Saludos

Hola nuevamente.

He estado dándole vueltas al procedimiento, pero realmente lo que no entiendo es... de dónde surge la función \( f(k) = k^2 y [k^2-(k-1)^2 \)... habrá alguna otra forma de llegar a lo mismo? (es decir, \( 2k-1 = n^2 \)).... \( k^2 \) y \( [k^2-(k-1)^2 \) es un patrón subyacente? o se llega a ello por medio de alguna propiedad que estoy ignorando?
Lo encuentro confuso, pero a ver si se me prende el bombillo. 

[Luis Fuentes]

Hola

He estado dándole vueltas al procedimiento, pero realmente lo que no entiendo es... de dónde surge la función \( f(k) = k^2 y [k^2-(k-1)^2 \)... habrá alguna otra forma de llegar a lo mismo? (es decir, \( 2k-1 = n^2 \)).... \( k^2 \) y \( [k^2-(k-1)^2 \) es un patrón subyacente? o se llega a ello por medio de alguna propiedad que estoy ignorando?
Lo encuentro confuso, pero a ver si se me prende el bombillo. 

Veamos. Hay dos cosas que entender en este ejercicio una es mecánica y la otra no tanto, digamos que require cierta intuición, experiencia, "vista"... es un "truco".

1) La mecánica es la relativa a las llamadas sumas telescópicas.

Se cumple en general que:

\( \displaystyle\sum_{k=1}^n{}(f(k)-f(k-1))=f(n)-f(0) \)

El motivo es que si desarrolamos la suma queda:

\( \underbrace{\color{red}f(1)\color{black}-f(1-1)}_{k=1}+\underbrace{\color{blue}f(2)\color{black}-\color{red}f(2-1)\color{black}}_{k=2}+\underbrace{\color{green}f(3)\color{black}-\color{blue}f(3-1)\color{black}}_{k=3}+\underbrace{\color{black}f(4)\color{brown}-\color{green}f(4-1)\color{black}}_{k=4}+\ldots+\underbrace{\color{black}f(
n)\color{black}-\color{red}f(n-1)\color{red}}_{k=n}=f(n)-f(0) \)

Donde si te fijas cada término que suma \( f(1),f(2),\ldots \) aparece restando en el siguiente y se anula. Excepto el \( -f(0) \) y el \( f(n) \).


2) La parte menos mecánica es la siguiente.

Si tenemos una suma:

\( \displaystyle\sum_{k=1}^n{}g(k) \)

Nos gustaría ser capaces de escribir \( g(k) \) como \( g(k)=f(k)-f(k-1) \) para poder aprovechar la fórmula anterior sobre sumas telescópicas.

Y aquí viene la parte de "inspiración". Si \( g(k)=2k-1 \), ¿soy capaz de encontrar \( f(k) \) tal que \( 2k-1=f(k)-f(k-1) \)?. Pues con un conocimiento de los productos notables a uno se le "ocurre" que tomando \( g(k)=k^2 \) funciona es decir:

\( f(k)-f(k-1)=k^2-(k-1)^2=k^2-(k^2-2k+1)=2k-1=g(k) \)

Hay una forma de sistematizar y generalizar esto cuando \( g(k) \) es un polinomio; puede probarse que siempre existe un polinomio \( f(k) \) de grado superior tal que \( g(k)=f(k)-f(k-1) \); pero esto sería algo más largo de contar.

Saludos.

[mrenglishlearning]

Hola

He estado dándole vueltas al procedimiento, pero realmente lo que no entiendo es... de dónde surge la función \( f(k) = k^2 y [k^2-(k-1)^2 \)... habrá alguna otra forma de llegar a lo mismo? (es decir, \( 2k-1 = n^2 \)).... \( k^2 \) y \( [k^2-(k-1)^2 \) es un patrón subyacente? o se llega a ello por medio de alguna propiedad que estoy ignorando?
Lo encuentro confuso, pero a ver si se me prende el bombillo. 

Veamos. Hay dos cosas que entender en este ejercicio una es mecánica y la otra no tanto, digamos que require cierta intuición, experiencia, "vista"... es un "truco".

1) La mecánica es la relativa a las llamadas sumas telescópicas.

Se cumple en general que:

\( \displaystyle\sum_{k=1}^n{}(f(k)-f(k-1))=f(n)-f(0) \)

El motivo es que si desarrolamos la suma queda:

\( \underbrace{\color{red}f(1)\color{black}-f(1-1)}_{k=1}+\underbrace{\color{blue}f(2)\color{black}-\color{red}f(2-1)\color{black}}_{k=2}+\underbrace{\color{green}f(3)\color{black}-\color{blue}f(3-1)\color{black}}_{k=3}+\underbrace{\color{black}f(4)\color{brown}-\color{green}f(4-1)\color{black}}_{k=4}+\ldots+\underbrace{\color{black}f(
n)\color{black}-\color{red}f(n-1)\color{red}}_{k=n}=f(n)-f(0) \)

Donde si te fijas cada término que suma \( f(1),f(2),\ldots \) aparece restando en el siguiente y se anula. Excepto el \( -f(0) \) y el \( f(n) \).


2) La parte menos mecánica es la siguiente.

Si tenemos una suma:

\( \displaystyle\sum_{k=1}^n{}g(k) \)

Nos gustaría ser capaces de escribir \( g(k) \) como \( g(k)=f(k)-f(k-1) \) para poder aprovechar la fórmula anterior sobre sumas telescópicas.

Y aquí viene la parte de "inspiración". Si \( g(k)=2k-1 \), ¿soy capaz de encontrar \( f(k) \) tal que \( 2k-1=f(k)-f(k-1) \)?. Pues con un conocimiento de los productos notables a uno se le "ocurre" que tomando \( g(k)=k^2 \) funciona es decir:

\( f(k)-f(k-1)=k^2-(k-1)^2=k^2-(k^2-2k+1)=2k-1=g(k) \)

Hay una forma de sistematizar y generalizar esto cuando \( g(k) \) es un polinomio; puede probarse que siempre existe un polinomio \( f(k) \) de grado superior tal que \( g(k)=f(k)-f(k-1) \); pero esto sería algo más largo de contar.

Saludos.

Hola, Luis:

Muchas gracias por la respuesta. Espero en el futuro poder captar estos detalles. Por ahora, mis habilidades inductivas (si se las llama así) son más bien pobres. Muchas gracias a todos.