Autor Tema: Demostrar que una función a trozos es C1

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10 Junio, 2018, 02:04 pm
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benlolo

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Hola, tengo varias dudas acerca del siguiente ejercicio:

Dada \[ f(x)=\begin{cases} cos(xy) & \text{si}& xy\geq{0}\\1+x^2y^2 & \text{si}& xy<0\end{cases} \]

Demostrar que es \[ C^1 \] en \[ \mathbb{R}^2 \].

Puedo ver que f es diferenciable utilizando la composición \[ f=g\circ{h} \] con \[ g(x)=\begin{cases} cos(t) & \text{si}& t\geq{0}\\1+t^2 & \text{si}& t<0\end{cases} \] y \[ h(x,y)=xy \]

Además cada una de esas funciones tiene las derivadas parciales (derivada en la primera) continuas en todo \[ \mathbb{R} \]. Pero no se si eso implique que \[ f \] sea \[ C^1 \]. ¿O acaso debo considerar \[ D_1f=\begin{cases} -ysin(xy) & \text{si}& xy\geq{0}\\2xy^2 & \text{si}& xy<0\end{cases} \] y la otra derivada parcial y estudiar su continuidad. Gracias de antemano.

10 Junio, 2018, 04:40 pm
Respuesta #1

Fernando Revilla

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Bienvenido al foro.

Dada \[ f(x)=\begin{cases} cos(xy) & \text{si}& xy\geq{0}\\1+x^2y^2 & \text{si}& xy<0\end{cases} \] Demostrar que es \[ C^1 \] en \[ \mathbb{R}^2 \]. Puedo ver que f es diferenciable utilizando la composición \[ f=g\circ{h} \] con \[ g(x)=\begin{cases} cos(t) & \text{si}& t\geq{0}\\1+t^2 & \text{si}& t<0\end{cases} \] y \[ h(x,y)=xy \] Además cada una de esas funciones tiene las derivadas parciales (derivada en la primera) continuas en todo \[ \mathbb{R} \]. Pero no se si eso implique que \[ f \] sea \[ C^1 \].

Tu planteamiento es correcto. Tenemos \[ h\in C^1(\mathbb{R}^2) \] y \[ g\in C^1(\mathbb{R}). \] Además, \[ f=g\circ{h} \] y por una conocida propiedad, la composición de funciones de clase \[ 1 \] es de clase \[ 1. \]

11 Junio, 2018, 05:16 pm
Respuesta #2

benlolo

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Gracias por la bienvenida Fernando.