Autor Tema: Subconjunto generador.

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11 Junio, 2018, 06:05 pm
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zimbawe

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Hola tengo el siguiente problema, que no he podido resolver:
1) Sea \[ V \] un espacio vectorial de dimensión \[ n \] y sea \[ S \] un subconjunto de \[ V \] que genera a \[ V \]

a) Demostrar que \[ S \] contiene al menos \[ n \] elementos.
b) Demostrar que un subconjunto de \[ S \] es una base para \[ V \] (tenga cuidad de no suponer que S es finito)

Gracias.

11 Junio, 2018, 06:20 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Hola tengo el siguiente problema, que no he podido resolver:
1) Sea \[ V \] un espacio vectorial de dimensión \[ n \] y sea \[ S \] un subconjunto de \[ V \] que genera a \[ V \]

Sería bueno saber que resultados previos tienes probados hasta ahora. Normalmente previamente se prueba el Teorema de Steiniz:

- Si \[ \{a_1,\ldots,a_m\} \] son vectores independientes y \[ \{b_1,\ldots,b_n\} \] una base entonces \[ m\leq n \] y pueden sustiuitse m vectores de la base por los independientes iniciales y el conjunto sigue siendo base.

De ahí se demuestra que dos bases de un subespacio tienen el mismo número de elementos y se llama dimensión del espacio vectorial a ese número.

Citar
a) Demostrar que \[ S \] contiene al menos \[ n \] elementos.

Si \[ S \] tuvera menos elementos de \[ n \], eliminando los dependientes tendríamos \[ m<n \] elementos independientes que generan \[ V \]. Pero entonces tendríamos una base con menos de \[ n \] elementos: imposible.

Citar
b) Demostrar que un subconjunto de \[ S \] es una base para \[ V \] (tenga cuidad de no suponer que S es finito)

Ahí supongo que quisiste poner:

"b) Demostrar que existe un subconjunto de \[ S \] que es una base para \[ V \] (tenga cuidad de no suponer que S es finito)"

La idea es: se toma un elemento \[ u_1 \] de \[ S \] no nulo. Si genera \[ V \] ya es base, en caso contrario existe otro elemento \[ u_2\in S \] que no es combinación lineal de él.

Entonces \[ \{u_1,u_2\} \] son independientes. Si generan \[ V \] ya son base, en caso contrario existe \[ u_3\in S \] independiente de ellos.


Entonces \[ \{u_1,u_2,u_3\} \] son independientes. Si genera \[ V \] son base, sino.... etcétera

Seguimos el proceso inductivamente. Cuando llegamos a \[ n \] vectores independientes, por el Teorema de Steiniz son base, ya que no puede haber \[ n+1>dim(V) \] vectores independientes.

Saludos.

11 Junio, 2018, 06:38 pm
Respuesta #2

zimbawe

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Hola Luis. En el libro si prueban ese Lema, no llaman al teorema cono ese nombre. Muchas gracias, es muy constructiva la demostración.