Autor Tema: Calcular la distancia de un plano a un punto

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12 Junio, 2018, 09:42 pm
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ladycomstock

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Tengo el siguiente ejercicio.
se consideran los planos:
\( \pi_1 : y = 7 \) 
π2 : 4x + 27 + 3z = 1
y la recta \(  r\parallel \pi_1 \cap \pi_2 \)  π1∩π2 por el punto (2, −5, 2).
Sea π3 el plano perpendicular a r por el punto (2, −5, 2).
La distancia de π3 al punto (7, −3, 2) es: ?
la respuesta es 3, pero lo hice de varias formas y no logro llegar a ese resultado. Si alguien puede ayudarme, muchas gracias. Saludos

13 Junio, 2018, 01:31 am
Respuesta #1

feriva

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  • ¡EUKERA!... ¡UEREKA!... ¡EUREKA! (corregido)
Tengo el siguiente ejercicio
se consideran los planos:
π1 : y = 7 
π2 : 4x + 27 + 3z = 1
y la recta r paralela a π1∩π2 por el punto (2, −5, 2).
Sea π3 el plano perpendicular a r por el punto (2, −5, 2).
La distancia de π3 al punto (7, −3, 2) es: ?
la respuesta es 3, pero lo hice de varias formas y no logro llegar a ese resultado. Si alguien puede ayudarme, muchas gracias. Saludos



Hola.

Bueno... a ver, yo te lo he hecho con cuentas, pero no mires las cuentas, para así hacerlas tú después, mira sólo lo que se usa (además yo me equivoco mucho, lo mismo no está bien):



Obteniendo las paramétricas de las ecuaciones cartesianas de la recta (los dos planos) tienes el vector de la recta paralalela a “r”

\( 4x+26+3z=0
  \)

\( x=\lambda
  \)

\( y=7
  \)

\( z=\dfrac{-4\lambda-26}{3}
  \)

\( v_{r\shortparallel}=(\lambda,0,\dfrac{-4\lambda}{3})
  \)

con lambda igual “3”, por tomar un valor cómodo, un vector es \( v_{r\shortparallel}=(3,0,-4)
  \)

Supongo que con “por el punto” quiere decir que ese punto es de la recta “r” y del plano perpendicular, se cortan en ese punto (eso entiendo)

Como ya tenemos el vector de la recta paralela, buscamos por producto escalar uno perpendicular; es muy sencillo

\( (3,0,-4)\text{·}(a,b,c)=0
  \) si a=4, b=0, c=3, se cumple, luego un vector perpendicular es \( (4,0,3)
  \)

Con este vector y el que teníamos, por producto vectorial hallamos el segundo vector del plano

Sale (0,-25,0) pero te vale cualquiera así \( \lambda(0,1,0)
  \)

La ecuación vectorial del plano es

\( x,y,z=(2,\text{−}5,2)+\lambda(0,1,0)+\beta(4,0,3)
  \)

A través de ella vamos a obtener la forma general de cualquier punto del plano

\( x=2+0\lambda+4\beta
  \)

\( y=-5+\lambda+0\beta
  \)

\( z=2+0\lambda+3\beta
  \)

despejamos la coordenada de los puntos

\( x-2=0\lambda+4\beta
  \)

\( y+5=\lambda+0\beta
  \)

\( z-2=0\lambda+3\beta
  \)

Entonces el determinante de la matriz de coeficientes ampliada tiene que ser cero porque (x,y,z) tiene que tener sólo unos valores, son coordenadas de punto, no de vector:

\( det\left(\begin{array}{ccc}
(x-2) & 0 & 4\\
(y+5) & 1 & 0\\
(z-2) & 0 & 3
\end{array}\right)=0
  \)

El determinante lo operamos por factores

\( (x-2)\cdot3-(y+5)\cdot0+(z-2)(-4)=0
  \)

\( (x-2)\cdot3+(z-2)(-4)=0
  \)

\( 3x-6-4z+8=0
  \)

Y ya la ecuación general del plano queda

\( 3x+0\cdot y-4z+2=0
  \)

Los coeficientes son entonces 3,0,-4,2

La distancia del punto dado al plano viene dada por la expresión

\( \dfrac{|3(7)+0(-3)-4(2)+2|}{\sqrt{3^{2}+0^{2}+(-4)^{2}}} \)
 

Haciendo las cuentas

\( \dfrac{15}{\sqrt{25}}=\dfrac{15}{5}=3
  \)

Sí, sale tres.

Saludos.

13 Junio, 2018, 05:04 am
Respuesta #2

ladycomstock

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Genial! muchas gracias, saludos.