Autor Tema: Transformación lineal autoadjunta

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03 Junio, 2018, 12:43 am
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Valentinuh

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Hola! Estoy teniendo problemas para hallar la matriz asociada a la base canónica de esta transformación, para luego ver si es autoadjunta:

Se considera \( \mathbb{R}^3 \) con el producto interno usual. Sea \( T:\mathbb{R}^3\rightarrow{}\mathbb{R}^3 \) una transformación lineal tal que:
\( T(2,0,1)=(0,2,1) \)
\( T(0,-2,-1)=(-2,0,-1) \)
\( T(1,2,0)=(1,0,2) \)
¿Es T autoadjunta?

Traté de hallar la matriz asociada calculando las coordenadas de los vectores en la base canónica, a lo que me da \( coord_B(T(2,0,1))=0(1,0,0)+2(0,1,0)+1(0,0,1)=(0,2,1) \) y así sucesivamente, a lo que llego a
\( _B(T)_B=\begin{bmatrix}{0}&{-2}&{1}\\{2}&{0}&{0}\\{1}&{-1}&{2}\end{bmatrix} \)
Lo cual no coincide con las soluciones que me han dado... ¿En qué estoy fallando?
Les agradezco muchísimo su ayuda :-)
Saludos.

03 Junio, 2018, 04:00 am
Respuesta #1

delmar

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Hola

La idea que tienes es correcta; pero hay que precisarla más, has considerado que la base para el \( R^3 \) de llegada (que incluye a la imágen de T ) es la canónica \( B=\left\{{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}\right\} \) eso es correcto. Pero has considerado que la base del \( R^3 \) de salida (dominio de T) es \( B'=\left\{{(2,0,1),(0,-2,-1),(1,2,0)}\right\} \), es verdad que este conjunto es linealmente independiente, es una base; pero no es la canónica, ni siquiera es ortonormal. Tienes que hallar la representación matricial M(T) respecto a las bases : B y B. La primera para el dominio de T, es decir \( R^3 \) y la segunda para el espacio vectorial, que incluye a la imágen de T, es decir  \( R^3 \). En otras palabras las columnas de la matriz serán las componentes respecto a B de los elementos de B.Entonces hay que hallar las componentes respecto a B, de \( T(e_1),T(e_2),T(e_3) \) ¿cómo hallarlas? De los datos que se tienen :

\( T(2,0,1)=(0,2,1)\Rightarrow{2T(e_1)+T(e_3)=2e_2+e_3} \) Ec. 1

\( T(0,-2,-1)=(-2,0,-1)\Rightarrow{-2T(e_2)-T(e_3)=-2e_1-e_3} \) Ec. 2

\( T(1,2,0)=(1,0,2)\Rightarrow{T(e_1)+2T(e_2)=2e_1+2e_3} \) Ec. 3

Las 3 ecuaciones constituyen un sistema, con variables  \( T(e_1),T(e_2),T(e_3) \), se pueden poner en forma matricial y mediante el método gaussiano se encuentran sus valores, que van a ser sus componentes respecto a la base B, Ahora sí puedes armar la matriz y verificar que es autoadjunta y en consecuencia la transformación T es autoadjunta.


Saludos

03 Junio, 2018, 11:05 pm
Respuesta #2

Valentinuh

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Hola

La idea que tienes es correcta; pero hay que precisarla más, has considerado que la base para el \( R^3 \) de llegada (que incluye a la imágen de T ) es la canónica \( B=\left\{{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}\right\} \) eso es correcto. Pero has considerado que la base del \( R^3 \) de salida (dominio de T) es \( B'=\left\{{(2,0,1),(0,-2,-1),(1,2,0)}\right\} \), es verdad que este conjunto es linealmente independiente, es una base; pero no es la canónica, ni siquiera es ortonormal. Tienes que hallar la representación matricial M(T) respecto a las bases : B y B. La primera para el dominio de T, es decir \( R^3 \) y la segunda para el espacio vectorial, que incluye a la imágen de T, es decir  \( R^3 \). En otras palabras las columnas de la matriz serán las componentes respecto a B de los elementos de B.Entonces hay que hallar las componentes respecto a B, de \( T(e_1),T(e_2),T(e_3) \) ¿cómo hallarlas? De los datos que se tienen :

\( T(2,0,1)=(0,2,1)\Rightarrow{2T(e_1)+T(e_3)=2e_2+e_3} \) Ec. 1

\( T(0,-2,-1)=(-2,0,-1)\Rightarrow{-2T(e_2)-T(e_3)=-2e_1-e_3} \) Ec. 2

\( T(1,2,0)=(1,0,2)\Rightarrow{T(e_1)+2T(e_2)=2e_1+2e_3} \) Ec. 3

Las 3 ecuaciones constituyen un sistema, con variables  \( T(e_1),T(e_2),T(e_3) \), se pueden poner en forma matricial y mediante el método gaussiano se encuentran sus valores, que van a ser sus componentes respecto a la base B, Ahora sí puedes armar la matriz y verificar que es autoadjunta y en consecuencia la transformación T es autoadjunta.


Saludos
Genial!!! Muchísimas gracias por tu ayuda :-)