Autor Tema: Signo derivadas

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

08 Junio, 2018, 04:06 pm
Leído 908 veces

Quema

  • Héroe
  • Mensajes: 1,654
  • País: uy
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Si \( f(x)>0, f'(x)<0 \) para todo \( x\geq{}0 \) y \( f''(x) \) no cambia de signo entonces \( f''(x)>0 \) para todo \( x\geq{}0. \)

Saludos


08 Junio, 2018, 04:46 pm
Respuesta #1

Juan Pablo Sancho

  • Moderador Global
  • Mensajes: 4,750
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Si \( f''(x) < 0  \) para todo \(  x \geq  0  \) tendríamos que \(  0 > f'(0) \geq f'(x)  \) para todo \(  x \in [0,+\infty[  \)

En consecuencia \(  f(x) \leq f'(0) \cdot x + f(0)  \) y mira que pasa con \( x = \dfrac{-f(0)}{f'(0)} > 0   \)

08 Junio, 2018, 05:52 pm
Respuesta #2

Quema

  • Héroe
  • Mensajes: 1,654
  • País: uy
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Y si la derivada primera en \( x=0 \) no existiera?

08 Junio, 2018, 09:05 pm
Respuesta #3

Juan Pablo Sancho

  • Moderador Global
  • Mensajes: 4,750
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Pero la función \( f' \) es continua en \(  [0+\infty[  \) por la existencia de \( f'' \) en \( [0,+\infty[  \)

08 Junio, 2018, 11:36 pm
Respuesta #4

Buscón

  • Matemático
  • Mensajes: 3,337
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Si \( f(x)>0, f'(x)<0 \) para todo \( x\geq{}0 \) y \( f''(x) \) no cambia de signo entonces \( f''(x)>0 \) para todo \( x\geq{}0. \)

Saludos

Suponiendo la función continua y derivable en    \( [0+\infty) \).

Si    \( f'(x)<0 \)    para    \( x\geq{0} \)    entonces la función decrece para     \( x\geq{0} \),    y si    \( f''(x) \)    no cambia de signo entonces lo hace sin puntos de inflexión. Esto es, decrece siendo cóncava, decrece siendo convexa o decrece linealmente para    \( x\geq{0} \). ¿No?

Saludos.


09 Junio, 2018, 01:09 am
Respuesta #5

Juan Pablo Sancho

  • Moderador Global
  • Mensajes: 4,750
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
El problema no está en \( f \) si es convexa o cóncava el problema está en \( f''  \) ver si tendrá el mismo signo siempre.
Editado
Mejor dicho ,  para saber que es convexa o cóncava se necisita saber el signo de la derivada \( f''  \) , que es lo que hay que sacar.

09 Junio, 2018, 09:01 am
Respuesta #6

Buscón

  • Matemático
  • Mensajes: 3,337
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
El problema no está en \( f \) si es convexa o cóncava el problema está en \( f''  \) ver si tendrá el mismo signo siempre.
Editado
Mejor dicho ,  para saber que es convexa o cóncava se necisita saber el signo de la derivada \( f''  \) , que es lo que hay que sacar.


Pues no se entonces si entiendo el enunciado, a ver si lo que afirma o pregunta es la veracidad de:

\( \forall{x>0}.\bigg[\big(f(x)>0\big)\wedge\big(f'(x)<0\big)\wedge\Big(\big(f''(x)>0\big)\vee \big(f''(x)<0\big)\Big)\Rightarrow{f''(x)>0}\bigg] \).

Siendo así, a mi juicio, la implicación no tiene por que ser cierta,    \( a\vee b\Rightarrow{b} \)    y    \( a\vee b\Rightarrow{a} \)    no son tautologías, también podría ser cierto

\( \forall{x>0}.\bigg[\big(f(x)>0\big)\wedge\big(f'(x)<0\big)\wedge\Big(\big(f''(x)>0\big)\vee \big(f''(x)<0\big)\Big)\Rightarrow{f''(x)<0}\bigg] \).

Es decir, determinar el signo de    \( f''(x) \)    con las hipótesis dadas no es posible. ¿No?

Saludos.


11 Junio, 2018, 01:42 pm
Respuesta #7

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 46,528
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Y si la derivada primera en \( x=0 \) no existiera?

Puedes razonar igual que indica Juan Pablo desde cualquier \( a>0 \) (y por tanto en \( (0,+\infty) \)).

Tienes que para \( a>x \):

\( f(x)=f(a)+f'(c)(x-a) \) con \( c\in (a,x) \)

Si \( f''(x)\leq 0 \) tienes que la derivada es decreciente y así:

\( f(x)\leq f(a)+f'(a)(x-a) \)

Tomando \( x=a-\dfrac{f(a)}{f'(a)}>a \) tendrías que \( f(x)\leq 0. \)

Saludos.