Autor Tema: Integral de superficie.

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16 Junio, 2018, 02:48 am
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zimbawe

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Hola, tengo el siguiente ejercicio. ¿Me podrían echar una mano?
Considere el cilindro \( x^2+y^2=4 \) el paraboloide \( x^2+y^2+z=16 \) y la región  \( \epsilon \) del espacio que es interior tanto al cilindro como al paraboloide, y que se encuentra sobre la suma de intersección de ambos.
Calcule
\( \displaystyle\int\displaystyle\int_{S}\vec{F}\cdot{d\vec{S}} \) donde \( \vec{F}=\left<{2x, z, 2z}\right> \) y \( S=d\epsilon \) es la superficie que encierra el volumen de la región descrita.

Si aplico, el teorema de la divergencia obtengo que:
\( Div(\vec{F})=4 \)
Luego \( \displaystyle\int\displaystyle\int_{S}\vec{F}\cdot{d\vec{S}}=\displaystyle\int\displaystyle\int\displaystyle\int_{E}4dzdxdy \) donde E es el volumen acotado por la región.

¿El volumen de la región vendría dado por: \( 2\displaystyle\int_{0}^{\sqrt{12}}\displaystyle\int_{0}^{\sqrt{12-x^2}} (4-x^2-y^2)dydx \)?

16 Junio, 2018, 04:48 am
Respuesta #1

hméndez

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Hola, tengo el siguiente ejercicio. ¿Me podrían echar una mano?
Considere el cilindro \( x^2+y^2=4 \) el paraboloide \( x^2+y^2+z=16 \) y la región  \( \epsilon \) del espacio que es interior tanto al cilindro como al paraboloide, y que se encuentra sobre la suma de intersección de ambos.
Calcule
\( \displaystyle\int\displaystyle\int_{S}\vec{F}\cdot{d\vec{S}} \) donde \( \vec{F}=\left<{2x, z, 2z}\right> \) y \( S=d\epsilon \) es la superficie que encierra el volumen de la región descrita.

Si aplico, el teorema de la divergencia obtengo que:
\( Div(\vec{F})=4 \)
Luego \( \displaystyle\int\displaystyle\int_{S}\vec{F}\cdot{d\vec{S}}=\displaystyle\int\displaystyle\int\displaystyle\int_{E}4dzdxdy \) donde E es el volumen acotado por la región.

¿El volumen de la región vendría dado por: \( 2\displaystyle\int_{0}^{\sqrt{12}}\displaystyle\int_{0}^{\sqrt{12-x^2}} (4-x^2-y^2)dydx \)?


Efectivamente por el teorema de la divergencia es 4 veces el volumen E. Considerando la simetría que E tiene respecto al eje Z
(haz un bosquejo de las gráficas, ambas son superficies de revolución en torno al eje Z) esto se puede escribir:

\( 4 V_{E}=4\cdot{}4\displaystyle\int_{0}^{2}\displaystyle\int_{0}^{\sqrt[ ]{4-x^2}}\displaystyle\int_{12}^{16-x^2-y^2}dz\;dy\;dx \)

O en cilíndricas:

\( 4V_{E}=4\cdot{}4\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\displaystyle\int_{0}^{2}\displaystyle\int_{12}^{16-r^2}r\;dz\;dr\;dt \)


\( 4V_{E}=32\pi \)

Saludos

16 Junio, 2018, 05:49 am
Respuesta #2

zimbawe

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Cometí un error y no me había percatado. Muchas gracias.