Autor Tema: Hallar constante Lipschitz o demostrar que no existe

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

11 Junio, 2018, 02:06 am
Leído 1875 veces

Maekvor

  • Junior
  • Mensajes: 47
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Buenas a todos.
Veréis, tengo que hallar la constante Lipschitz o demostrar que no existe para diferentes casos.
Y por boba que es la definición, no la entiendo, o sea, no sé trabajar con ella. Pongo dos ejemplos:

(1) Ejercicio hecho por el profe:

\( f(x,y)=1+y^2 \) Dominio: \( \mathbb{R^2} \)
Para que sea lipschitziana:
\( |f(x,y_1)-f(x,y_2)|\leq{K}|y_1-y_2| \) Entonces sustituye:
\( |(1+y_1^2)-(1+y_2^2)|=|y_1^2-y_2^2|\leq{K}|y_1-y_2| \)
Luego:
\( |y_1^2-y_2^2|=|y_1-y_2||y_1+y_2|\leq{K}|y_1-y_2| \) Entonces:
Para cierto \( K>0  \) y \(  \forall{(x,y_1),(x,y_2)}\in{\mathbb{R^2}}  \) \( |y_1+y_2|\leq{K}  \)
Y pone que es absurdo, pero mi pregunta es: ¿No se supone que ha encontrado un \( K \)? ¿Por qué es absurdo?



(2) Y luego he intentado hacer yo un ejercicio pero no sé como continuar

\( f(x)=\sqrt[ 3]{x} \), \( x\in{[-1,1]} \)
Yo sé que por definición:
\( f(x) \) es lipschitziana si \( \exists{L}>0: |f(x)-f(y)|\leq{L|x-y|} \) \( \forall{x,y}\in{[-1,1]} \)
Yo hago lo siguiente:
Defino:
\( f(x)=\sqrt[ 3]{x} \), \( f(y)=\sqrt[ 3]{y} \) Entonces:
\( |f(x)-f(y)|=|\sqrt[ 3]{x}-\sqrt[ 3]{y}| \)
Y suponemos que:
\( |\sqrt[ 3]{x}-\sqrt[ 3]{y}|\leq{K|x-y|} \)
Sabemos que:
\( \sqrt[ 3]{x}\leq{|1|} \) y \( \sqrt[ 3]{y}\leq{|1|} \)
Luego:
\( |\sqrt[ 3]{x}-\sqrt[ 3]{y}|\leq{2}\leq{K|x-y|} \)
Por tanto:
\( \frac{2}{|x-y|}\leq{K} \)
Y aquí concluí que sería lipschitz, pero viendo el ejemplo del profesor pues supongo que no lo es xD Así que si alguien me ayuda le estaré eternamente agradecido D:

11 Junio, 2018, 02:30 am
Respuesta #1

Juan Pablo Sancho

  • Moderador Global
  • Mensajes: 4,759
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Tienes que \( |y_1-y_2|  \) se puede hacer pequeño, lo que propone el profesor es que habría un \( K>0 \) tal
que para todo \( y_1,y_2  \) se tendría \( |y_1+y_2| < K  \).
Toma \( y_1^n = n  \) y \(  y_2^n = n + \dfrac{1}{n}  \) donde \( n \in \mathbb{N}  \) cuando \( n \) crece tenemos:
\(  |y_1^n - y_2^n| \to 0 \)
\(  |y_1^n + y_2^n| \to +\infty \) entonces no existe \( K \)

Para ver tu ejemplo usa:
\( a^3-b^3 = (a-b) \cdot (a^2+ab+b^2)  \) donde:
\( a = \sqrt[3]{y} \)
\( b = \sqrt[3]{x} \)

Queda:

\( \sqrt[3]{y} - \sqrt[3]{x} = \dfrac{1}{\sqrt[3]{y^2} + \sqrt[3]{yx} + \sqrt[3]{x^2}} \cdot (y-x)  \)  y mira que pasa cuando \( x  \) e \( y  \) están cerca del cero.

11 Junio, 2018, 11:36 pm
Respuesta #2

Maekvor

  • Junior
  • Mensajes: 47
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Respecto a la primera explicación en sí la he entendido, solo que no sé por qué puedes tomar esas sucesiones.
¿Siempre es así? Digamos: ¿ingeniándotelas?
Yo pensaba que esta definición simplemente consistía en ir despejando hasta encontrar un K
Igualmente haré otros ejercicios a ver si me salen.


11 Junio, 2018, 11:46 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 46,534
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Respecto a la primera explicación en sí la he entendido, solo que no sé por qué puedes tomar esas sucesiones.
¿Siempre es así? Digamos: ¿ingeniándotelas?

Cuando se  trata de probar que NO es Lipchiziana de alguna forma si; es decir se trata de buscar un contrajemplo a la definición. Mostrar que pares de puntos pueden estar muy cerca pero sus imágenes muy lejos, impidiendo la cota \( |f(x)-f(y)|\leq K|x-y| \) para cualquier \( K \).

En el segundo te puede simplificar aun más lo indicado por Juan Pablo si tomas \( x=0 \).

Saludos.

16 Junio, 2018, 06:49 pm
Respuesta #4

Maekvor

  • Junior
  • Mensajes: 47
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Tienes que \( |y_1-y_2|  \) se puede hacer pequeño, lo que propone el profesor es que habría un \( K>0 \) tal
que para todo \( y_1,y_2  \) se tendría \( |y_1+y_2| < K  \).
Toma \( y_1^n = n  \) y \(  y_2^n = n + \dfrac{1}{n}  \) donde \( n \in \mathbb{N}  \) cuando \( n \) crece tenemos:
\(  |y_1^n - y_2^n| \to 0 \)
\(  |y_1^n + y_2^n| \to +\infty \) entonces no existe \( K \)


Viento lo que me has puesto, no entiendo por qué dices que \(  |y_1^n + y_2^n| \to +\infty \) ya que la \( n\in{\mathbb{N}} \) pero mi intervalo es \( I=[-1,1] \) luego, mi pregunta es: ¿el único natural disponible no sería el \( 1 \)? Es que no entiendo por qué de contraejemplo tomas una sucesión con números que se salen de mi intervalo.
De resto sí lo comprendí, gracias.

16 Junio, 2018, 08:55 pm
Respuesta #5

Juan Pablo Sancho

  • Moderador Global
  • Mensajes: 4,759
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Eso es para el ejemplo del profesor no el que pones tú.


16 Junio, 2018, 11:14 pm
Respuesta #6

Maekvor

  • Junior
  • Mensajes: 47
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino