Autor Tema: Hallar constante Lipschitz o demostrar que no existe

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10 Junio, 2018, 09:06 pm
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Maekvor

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Buenas a todos.
Veréis, tengo que hallar la constante Lipschitz o demostrar que no existe para diferentes casos.
Y por boba que es la definición, no la entiendo, o sea, no sé trabajar con ella. Pongo dos ejemplos:

(1) Ejercicio hecho por el profe:

\[ f(x,y)=1+y^2 \] Dominio: \[ \mathbb{R^2} \]
Para que sea lipschitziana:
\[ |f(x,y_1)-f(x,y_2)|\leq{K}|y_1-y_2| \] Entonces sustituye:
\[ |(1+y_1^2)-(1+y_2^2)|=|y_1^2-y_2^2|\leq{K}|y_1-y_2| \]
Luego:
\[ |y_1^2-y_2^2|=|y_1-y_2||y_1+y_2|\leq{K}|y_1-y_2| \] Entonces:
Para cierto \[ K>0  \] y \[  \forall{(x,y_1),(x,y_2)}\in{\mathbb{R^2}}  \] \[ |y_1+y_2|\leq{K}  \]
Y pone que es absurdo, pero mi pregunta es: ¿No se supone que ha encontrado un \[ K \]? ¿Por qué es absurdo?



(2) Y luego he intentado hacer yo un ejercicio pero no sé como continuar

\[ f(x)=\sqrt[ 3]{x} \], \[ x\in{[-1,1]} \]
Yo sé que por definición:
\[ f(x) \] es lipschitziana si \[ \exists{L}>0: |f(x)-f(y)|\leq{L|x-y|} \] \[ \forall{x,y}\in{[-1,1]} \]
Yo hago lo siguiente:
Defino:
\[ f(x)=\sqrt[ 3]{x} \], \[ f(y)=\sqrt[ 3]{y} \] Entonces:
\[ |f(x)-f(y)|=|\sqrt[ 3]{x}-\sqrt[ 3]{y}| \]
Y suponemos que:
\[ |\sqrt[ 3]{x}-\sqrt[ 3]{y}|\leq{K|x-y|} \]
Sabemos que:
\[ \sqrt[ 3]{x}\leq{|1|} \] y \[ \sqrt[ 3]{y}\leq{|1|} \]
Luego:
\[ |\sqrt[ 3]{x}-\sqrt[ 3]{y}|\leq{2}\leq{K|x-y|} \]
Por tanto:
\[ \frac{2}{|x-y|}\leq{K} \]
Y aquí concluí que sería lipschitz, pero viendo el ejemplo del profesor pues supongo que no lo es xD Así que si alguien me ayuda le estaré eternamente agradecido D:

10 Junio, 2018, 09:30 pm
Respuesta #1

Juan Pablo Sancho

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Tienes que \[ |y_1-y_2|  \] se puede hacer pequeño, lo que propone el profesor es que habría un \[ K>0 \] tal
que para todo \[ y_1,y_2  \] se tendría \[ |y_1+y_2| < K  \].
Toma \[ y_1^n = n  \] y \[  y_2^n = n + \dfrac{1}{n}  \] donde \[ n \in \mathbb{N}  \] cuando \[ n \] crece tenemos:
\[  |y_1^n - y_2^n| \to 0 \]
\[  |y_1^n + y_2^n| \to +\infty \] entonces no existe \[ K \]

Para ver tu ejemplo usa:
\[ a^3-b^3 = (a-b) \cdot (a^2+ab+b^2)  \] donde:
\[ a = \sqrt[3]{y} \]
\[ b = \sqrt[3]{x} \]

Queda:

\[ \sqrt[3]{y} - \sqrt[3]{x} = \dfrac{1}{\sqrt[3]{y^2} + \sqrt[3]{yx} + \sqrt[3]{x^2}} \cdot (y-x)  \]  y mira que pasa cuando \[ x  \] e \[ y  \] están cerca del cero.

11 Junio, 2018, 06:36 pm
Respuesta #2

Maekvor

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Respecto a la primera explicación en sí la he entendido, solo que no sé por qué puedes tomar esas sucesiones.
¿Siempre es así? Digamos: ¿ingeniándotelas?
Yo pensaba que esta definición simplemente consistía en ir despejando hasta encontrar un K
Igualmente haré otros ejercicios a ver si me salen.


11 Junio, 2018, 06:46 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Respecto a la primera explicación en sí la he entendido, solo que no sé por qué puedes tomar esas sucesiones.
¿Siempre es así? Digamos: ¿ingeniándotelas?

Cuando se  trata de probar que NO es Lipchiziana de alguna forma si; es decir se trata de buscar un contrajemplo a la definición. Mostrar que pares de puntos pueden estar muy cerca pero sus imágenes muy lejos, impidiendo la cota \[ |f(x)-f(y)|\leq K|x-y| \] para cualquier \[ K \].

En el segundo te puede simplificar aun más lo indicado por Juan Pablo si tomas \[ x=0 \].

Saludos.

16 Junio, 2018, 01:49 pm
Respuesta #4

Maekvor

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Tienes que \[ |y_1-y_2|  \] se puede hacer pequeño, lo que propone el profesor es que habría un \[ K>0 \] tal
que para todo \[ y_1,y_2  \] se tendría \[ |y_1+y_2| < K  \].
Toma \[ y_1^n = n  \] y \[  y_2^n = n + \dfrac{1}{n}  \] donde \[ n \in \mathbb{N}  \] cuando \[ n \] crece tenemos:
\[  |y_1^n - y_2^n| \to 0 \]
\[  |y_1^n + y_2^n| \to +\infty \] entonces no existe \[ K \]


Viento lo que me has puesto, no entiendo por qué dices que \[  |y_1^n + y_2^n| \to +\infty \] ya que la \[ n\in{\mathbb{N}} \] pero mi intervalo es \[ I=[-1,1] \] luego, mi pregunta es: ¿el único natural disponible no sería el \[ 1 \]? Es que no entiendo por qué de contraejemplo tomas una sucesión con números que se salen de mi intervalo.
De resto sí lo comprendí, gracias.

16 Junio, 2018, 03:55 pm
Respuesta #5

Juan Pablo Sancho

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Eso es para el ejemplo del profesor no el que pones tú.


16 Junio, 2018, 06:14 pm
Respuesta #6

Maekvor

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