Autor Tema: Probar \(\;\;f\;\) única si \(\;\;2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=x\).

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03 Julio, 2018, 06:00 pm
Respuesta #60

Buscón

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Entonces, recapitulando:

Teorema de derivación de la función inversa.

Sea    \( f:I\longrightarrow{\mathbb{R}} \)    derivable en el intervalo    \( I \)    con derivada    \( f'(x)\neq{0} \)    para todo    \( x\in{I} \).    Entonces    \( f \)    es una biyección de     \( I \)    sobre el intervalo    \( J=f(I) \)    y la función inversa    \( f^{-1}:J\longrightarrow{\mathbb{R}} \)    es derivable
en    \( J \).






En el caso que se plantea, sea    \( \cancel{y=f(x)} \),    entonces    \( \cancel{f^{-1}(y)=x} \),    y por consiguiente
Sea
\( f^{-1}(y)=2y^3-3y^2+6y \).
   

Está claro que la función    \( f^{-1} \)    (la inversa de    \( \cancel{f} \)):

   i)    Se define como    \( f^{-1}:\mathbb{R}\longrightarrow{\mathbb{R}} \)    y viene dada por    \( f^{-1}(y)=2y^3-3y^2+6y \)    para todo    \( y\in{\mathbb{R}} \),

   ii)   Es derivable en el intervalo    \( \mathbb{R} \)    por ser un polinomio,

   iii)  \( \color{red}(\color{black}f^{-1}\color{red})'\color{black}(y)\neq{0} \)    para todo    \( y\in{\mathbb{R}} \).   

   iv)  \( (f^{-1})'(y)=6y^2-6y+6 \)    para todo    \( y\in{\mathbb{R}} \).






Para el primer punto que piden, la unicidad de    \( f \):

DEFINICIÓN.

Dadas dos funciones    \( f:A\rightarrow{B} \)    y    \( g:C\rightarrow{D} \),    son iguales o idénticas si se cumple:

   • Tienen el mismo dominio:    \( A=C \),
   • Tienen el mismo codominio:    \( B=D \),
   • Asignan las mismas imágenes: para cada    \( x\in{A}=C \),    se tiene que    \( f(x)=g(x) \).




Es obvio que si existe    \( g^{-1}(y)=2y^3-3y^2+6y \)    entonces    \( g^{-1} \)    debe verificar también i), ii) y iii) por ser    \( f^{-1}(y)=g^{-1}(y) \)    para todo    \( y\in{\mathbb{R}} \),    esto es, la función    \( f^{-1} \)    es única.   

Ahora bien, como i), ii) y iii) son las hipótesis del teorema de derivación de la función inversa, resulta que
\( f^{-1} \)    es una biyección, y por lo tanto la función    \( f:\mathbb{R}\longrightarrow{\mathbb{R}} \)    también es única c.q.d.

Ahora existe    \( f \),    (la inversa de    \( f^{-1} \)),    sea    \( y=f(x) \),    entonces    \( f^{-1}(y)=x \).


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Igualmente el teorema de derivación de la función inversa prueba el punto dos, la derivabilidad de    \( f \).


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Para calcular    \( f'(0) \),    el tercer punto pedido, como tanto    \( f \)    como    \( f^{-1} \)    son derivables en    \( \mathbb{R} \),    se puede utilizar la regla de la cadena para derivar la expresión    \( f\big(f^{-1}(y)\big)=y \)    con lo que se obtiene la igualdad

\( f'\big(f^{-1}(y)\big)\cdot{(f^{-1})'(y)}=1 \),

de donde

\( f'\big(f^{-1}(y)\big)=\displaystyle\frac{1}{(f^{-1})'(y)} \)

y en el caso que nos ocupa, sustituyendo    \( (f^{-1})'(y) \)    por    \( 6y^2-6y+6 \)    e    \( y \)    por    \( f(x) \)    se obtiene la expresión

\( f'\big(f^{-1}(f(x))\big)=\displaystyle\frac{1}{6\big(f(x)\big)^2-6f(x)+6} \),

\( f'(x)=\displaystyle\frac{1}{6\big(f(x)\big)^2-6f(x)+6} \).

Para el valor pedido será entonces

\( f'(0)=\displaystyle\frac{1}{6\big(f(0)\big)^2-6f(0)+6} \),

sólo falta saber que valor toma la función    \( f \)    en    \( x=0 \).


Sacando factor común en la expresión que nos dan,    \( f(x)\cdot{\Big[2\big(f(x)\big)^2-3f(x)+6\Big]}=x \)    y dado que la ecuación
\( 2\big(f(x)\big)^2-3f(x)+6=0 \)    no tiene soluciones reales, sólo puede ser    \( f(0)=0 \).

El valor pedido entonces es    \( \displaystyle\frac{1}{6} \).


Saludos.

CORREGIDO por Luis Fuentes. Muchas gracias.

EDITO.

Lo de la unicidad no me convencen. ¿Alguna sugerencia?

04 Julio, 2018, 11:56 am
Respuesta #61

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Entonces, recapitulando:

Teorema de derivación de la función inversa.

Sea    \( f:I\longrightarrow{\mathbb{R}} \)    derivable en el intervalo    \( I \)    con derivada    \( f'(x)\neq{0} \)    para todo    \( x\in{I} \).    Entonces    \( f \)    es una biyección de     \( I \)    sobre el intervalo    \( J=f(I) \)    y la función inversa    \( f^{-1}:J\longrightarrow{\mathbb{R}} \)    es derivable
en    \( J \).






En el caso que se plantea, sea    \( y=f(x) \),    entonces    \( f^{-1}(y)=x \),    y por consiguiente

\( f^{-1}(y)=2y^3-3y^2+6y \).
   

Está claro que la función    \( f^{-1} \),    (la inversa de    \( f \)):

   i)    Se define como    \( f^{-1}:\mathbb{R}\longrightarrow{\mathbb{R}} \)    y viene dada por    \( f^{-1}(y)=2y^3-3y^2+6y \)    para todo    \( y\in{\mathbb{R}} \),

   ii)   Es derivable en el intervalo    \( \mathbb{R} \)    por ser un polinomio,

   iii)  \( \color{red}(\color{black}f^{-1}\color{red})'\color{black}(y)\neq{0} \)    para todo    \( y\in{\mathbb{R}} \).   

   iv)  \( (f^{-1})'(y)=6y^2-6y+6 \)    para todo    \( y\in{\mathbb{R}} \).




 Ya no está bien como empiezas. No puedes comenzar llamando a una función \( f^{-1} \) porque presupones que tiene inversa, antes de haberlo demostrado.

 Entonces comienza llamando:

\(  h(y)=2y^2-3y^2+6y \)

 y en todo caso si luego pruebas que tiene inversa tendrás derecho a tomar \( f(x)=h^{-1}(x) \).

saludos.