Hola
Suponiendo que el círculo tenga radio
r. El cuadrado inscrito es una reunión de cuatro cuerdas iguales de lado
L, los ángulos centrales correspondientes a cada lado, son rectos, esto implica que el triángulo formado por los radios correspondientes a un lado y el lado es un triángulo rectángulo, aplicando Pitágoras se tiene : \( r^2+r^2=L^2\Rightarrow{L^2=2r^2} \)
El área será :\( A=2r^2 \)
El otro cuadrado, tiene dos vértices
A,B en un diámetro
FH y sus otros vértices
C,D están en la circunferencia. Por ser la circunferencia simétrica respecto a la recta S (perpendicular al diámetro por O) y el cuadrado simétrico respecto al eje que biseca sus lados \( AB, \ CD \), este eje
necesariamente coincide con la recta S y el cuadrado adopta la forma que se muestra en la figura :
Si el lado del cuadrado es k, se tendrá que \( BC=k, \ OB=\displaystyle\frac{k}{2} \), el triángulo rectángulo OBC cumple Pitágoras, esto implica : \( k^2+(\displaystyle\frac{k}{2})^2=r^2\Rightarrow{k^2=\displaystyle\frac{4r^2}{5}} \)
El área de este cuadrado es : \( a=\displaystyle\frac{4r^2}{5} \)
Al hacer el cociente se tiene : \( \displaystyle\frac{a}{A}=\displaystyle\frac{2}{5} \)
Saludos
