Autor Tema: Imagen inversa.

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08 Junio, 2018, 07:55 pm
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crisnodo

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Hola.tengo un ejercicio que me pide calcular las imágenes inversas, alguien me puede echar una mano se lo agradecería.

Sea la variedad (\( \mathbb{R}^2,g \)) donde \( \mathbb{R}^2 \) dotado de su orientación estandar y \( g \) es la métrica \( g=dx\otimes{dx}+2xydx\otimes{dy}+2xy dy\otimes{dx} + (1+4x^{2}y^2)dy\otimes{dy} \).
Sea la variedad \( (Y,\bar{g}) \) donde \( Y \) es de \( \mathbb{R}^2 \) con su orientacion estandar y \( \bar{g}=dx\otimes{dx}+dy\otimes{dy} \).
Si las coordenadas cartesianas sobre \( Y \) las denotamos \( (u,v) \),entonces será \( \bar{g}=du\otimes{du}+dv\otimes{dv} \)
Consideramos por último el difeomorfismo \(  \phi:Y\longrightarrow{X}, \phi(u,v)=(u,u-v) \)
Calcular las imágeness inversa de \(  \phi^{*}g \) y  \(  \phi^{*}W_x \)



Calculamos primero \(  \phi^{*}W_x \)
\( |g_{i,j}|=\begin{vmatrix} 1 & 2xy \\ 2xy & 1+4x^{2}y^2 \end{vmatrix}=1 \)
Y \( W_x =|g_{i,j}|^{1/2}dx∧dy = dx∧dy \)
Luego,\( \phi^{*}(dx∧dy)=d(\phi^{*}(x)∧\phi^{*}(y)=dx∧dy \)
pero  \(  \phi^{*}g \) no soy capaz de hallar su imagen inversa  :banghead:

\( \phi^{*}g=\phi^{*}(dx\otimes{dx}+2xydx\otimes{dy}+2xy dy\otimes{dx} + (1+4x^{2}y^2)dy\otimes{dy})=\\
d(\phi^{*}(x)\otimes{\phi^{*}(x)}) +2xy d(\phi^{*}(x)\otimes{\phi^{*}(y)})+2xyd(\phi^{*}(y)\otimes{\phi^{*}(x)}) + (1+4x^{2}y^2)d(\phi^{*}(y)\otimes{\phi^{*}(y)}) \)

 
Ahora para calcularlo aplicando que \( \phi(u,v) =(u,u-v) \) no sé cómo hacerlo para obtener la inversa de g
cualquier tipo de ayuda o indicación se agradecer.
Saludos.

09 Junio, 2018, 08:44 pm
Respuesta #1

Gustavo

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Hola,

Puedes mirar la página 39 de estas notas y seguimos discutiendo tu ejercicio:

http://pi.math.cornell.edu/~sjamaar/manifolds/manifold.pdf

Nota en particular cómo el pullback actúa sobre funciones.

10 Junio, 2018, 12:17 pm
Respuesta #2

crisnodo

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Hola,

Puedes mirar la página 39 de estas notas y seguimos discutiendo tu ejercicio:

http://pi.math.cornell.edu/~sjamaar/manifolds/manifold.pdf

Nota en particular cómo el pullback actúa sobre funciones.
Muchas gracias Gustavo, me ha servido tu respuesta.
Saludos.