Hola
Bienvenido al foro.
Hola a todos.
Soy estudiante de ingeniería, del primer curso, y estoy bastante pegado en Algebra.
Hay un tipo de ejercicios que no sé resolver. Dada la siguiente matriz, por ejemplo, quiero ver si es regular en el anillo dado y en caso de que lo sea, calcular su inversa. La matriz es:
\begin{bmatrix}{2}&{1}&{1}\\{1}&{0}&{1}\\{0}&{0}&{2}\end{bmatrix} En Z^3
Necesito una explicación para tontos. Qué explique todo paso a paso. Sé invertir matrices pero no sé lo que es Z^3 y lo que implica calcular en tal anillo.
Supongo que quisiste decir en \( \mathbb{Z}_3 \) es decir matrices con coeficientes en el anillo (cuerpo además) de enteros módulo \( 3 \).
En general si tienes una matriz con coeficientes en un cuerpo cualquiera \( K \) todas las fórmulas que conoces para las matrices funcionan; en particular es invertible si y sólo si su determinante es no nulo y en caso de tener inversa puedes calcularla por la fórmula clásica por adjuntos o por el método de Gauss.
Simplemente al hacer las cuentas has de tener cuidado con como se opera en el cuerpo concreto donde estás trabajando.
Ahora llega el momento de saber que conoces sobre el cuerpo \( \mathbb{Z}_3 \); en principio te recomiendo al respecto este documento:
http://www.mat.ucm.es/~cruizb/2-AM/Apuntes-i/Apuntes-14/Z-Congruencias-5.pdfA partir de ahí pregunta las dudas concretas que te surjan.
Te interesará tener en cuenta que los elementos de \( \mathbb{Z}_3 \) son \( \{0,1,2\} \) y sus inversos:
\( 1^{-1}=1,\qquad 2^{-1}=2 \)
Saludos.
