[missiangel]

Buenas noches
¿Cómo puedo demostrar que la sucesión \( f_n=n1_{[1/n,2/n]} \) converge en casi todas partes a la función cero?
Gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

Buenas noches
¿Cómo puedo demostrar que la sucesión \( f_n=n1_{[1/n,2/n]} \) converge en casi todas partes a la función cero?
Gracias.

De hecho converge puntualmente a cero.

Dado \( x\in \mathbb{R} \):

- Si \( x\leq 0 \) es claro que \( f_n(x)=0 \) para todo \( n \).
- Si \( x>0  \) para \( n>2/x \) se tiene que \( x<2/n \) y así \( f_n(x)=0 \).

Saludos.

[missiangel]

Muchas gracias
Utilizando ese hecho ¿puedo probar que converge casi uniformemente a la función cero?

[Luis Fuentes]

Hola

Muchas gracias
Utilizando ese hecho ¿puedo probar que converge casi uniformemente a la función cero?

Si. Para todo \( \epsilon>0 \) existe un \( n_0 \) tal que si \( n\neq n_0 \), \( \mu([0,2/n])=2/n<\epsilon \). Entonces \( f_n \) converge uniformemente a la función \( 0 \) en \( X=\mathbb{R}-\{[0,2/n]\} \) por que de hecho para \( n\geq n_0 \) se tiene que \( f_n|_X=0 \).

Saludos.