Autor Tema: Demostración densidad de los racionales: Rudin.

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29 Mayo, 2018, 05:46 pm
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zimbawe

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Hola, estoy tratando de seguir la demostración de la densidad de los racionales propuesta en el libro de Rudin, pero me quedo en una parte.
Si \( x \in{\mathbb{R}} \) y \( y\in{\mathbb{R}} \), además \( x<y \) entonces hay racional   \( p \) tal que \( x<p<y \)
Demostración:
Debido a que \( x<y \) se tiene que aplicando la propiedad arquimediana, que existe un entero positivo tal que:
\( n(y-x)>1 \)
Aplicando la propiedad arquimediana se pueden encontrar enteros positivos, \( m_1, m_2 \) tales que:
\( m_1>nx \)
\( m_2>-nx\longrightarrow{-m_2<nx} \)
Ahora es donde viene mi duda:
El afirma que hay un entero \( m \) con
\( -m_2\leq{m}\leq{m_1} \)
tal que:
\( m-1\leq{nx}\leq{m} \)
¿Qué me garantiza la existencia de ese m? y ¿Por qué \( m-1\leq{nx} \)
Ya el resto que hace lo entiendo, pero es consecuencia de encontrar este m, me pueden explicar qué garantiza la existencia de este m, muchas gracias.

29 Mayo, 2018, 10:25 pm
Respuesta #1

Juan Pablo Sancho

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Te pongo este documento.

29 Mayo, 2018, 11:18 pm
Respuesta #2

Masacroso

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Supongamos sin pérdida de generalidad que \( x\ge 0 \). Define el conjunto \( A_x:=\{n\in\Bbb N: n>x\} \). Como \( A_x\subset\Bbb N \) y \( \Bbb N \) es un conjunto bien ordenado, entonces \( m:=\min A_x \) existe, y entonces de ahí obtenemos directamente que \( m-1\le x< m \).

Es decir: \( m-1\le x \) ya que \( m \) es mínimo y por tanto es imposible que \( m-1>x \). Espero te sirva.

30 Mayo, 2018, 02:37 pm
Respuesta #3

zimbawe

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Muchas gracias a ambos. Son muy amables.