Autor Tema: Polinomios linealizados

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29 Mayo, 2018, 06:00 am
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serpa

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Sea \( f  \) un polinomio linealizado con coeficientes en \( \mathbb{F}_{q^n} \) y \( q \)-grado \( k \), digamos \( f=f_0x + f_1 x^q + \cdots + f_{k-1}x^{q^{k-1}} + f_k x^{q^k} \). He demostrado que si el rango de \( f \), visto como transformación lineal, es \( n-k \), entonces \( N(f_0)=(-1)^{kn} N(f_k) \). Debo mostrar ahora que el recíproco no es cierto, para \( k>1 \). Es decir, el hecho que \( N(f_0)=(-1)^{kn} N(f_k) \) no implica que \( f \) tenga rango \( n-k \) ¿Se les ocurre algún contraejemplo?

PD: \( N \) denota la norma del cuerpo \( \mathbb{F}_{q^n} \) sobre el cuerpo \( \mathbb{F}_q \).

De antemano se les agradece cualquier aporte.

Saludos.